Utilize o princípio da indução finita para provar as afirmações dadas.
(1+r)^{n} \geq 1+n r, \forall n \in \mathbb{N}, sendo r>-1.

Passo 1

O enunciado pede para provar por indução finita que
(1+r)^{n}\ge1+n\,r,\quad\forall n\in\mathbb{N},
sendo r>-1. O conteúdo envolvido é o princípio da indução e manipulação de desigualdades em expressões exponenciais.

Passo 2

Escolhemos o caso-base n=1.
Para n=1 temos
(1+r)^1=1+r
e
1+1\cdot r=1+r.
Logo a desigualdade vale por igualdade, isto é,
(1+r)^1 = 1+1\cdot r.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum k\ge1 seja verdadeira a desigualdade
(1+r)^k \ge 1 + k\,r.

Passo 4

Passo indutivo: devemos mostrar que sob essa hipótese vale
(1+r)^{k+1}\ge1+(k+1)\,r.
Começamos usando a hipótese e multiplicamos ambos os lados por (1+r), que é positivo pois r>-1:
(1+r)^{k+1} = (1+r)^k\,(1+r)\;\ge\;(1+k\,r)(1+r).
Agora expandimos o produto:
(1+k\,r)(1+r) = 1 + (k+1)\,r + k\,r^2.
Como r^2\ge0 (qualquer real ao quadrado é não negativo) e k\ge1 implica k\,r^2\ge0, segue
1 + (k+1)\,r + k\,r^2 \ge 1 + (k+1)\,r.
Assim concluímos
(1+r)^{k+1}\ge1+(k+1)\,r.

Passo 5

Pelo princípio da indução finita, como o caso-base vale e o passo indutivo está estabelecido, a desigualdade
(1+r)^n \ge 1+n\,r
é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

Portanto, para todo n\in\mathbb{N} e todo r>-1, vale
(1+r)^{n}\ge1+n\,r.

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