Utilize o princípio da indução finita para provar as afirmações dadas.
, sendo
.
Passo 1
O enunciado pede para provar por indução finita que
sendo
. O conteúdo envolvido é o princípio da indução e manipulação de desigualdades em expressões exponenciais.
Passo 2
Escolhemos o caso-base
.
Para temos
Para
e
Logo a desigualdade vale por igualdade, isto é,
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que para algum
seja verdadeira a desigualdade
Passo 4
Passo indutivo: devemos mostrar que sob essa hipótese vale
Começamos usando a hipótese e multiplicamos ambos os lados por
, que é positivo pois
:
Agora expandimos o produto:
Como
(qualquer real ao quadrado é não negativo) e
implica
, segue
Assim concluímos
Passo 5
Pelo princípio da indução finita, como o caso-base vale e o passo indutivo está estabelecido, a desigualdade
é verdadeira para todo
.
Resposta
Portanto, para todo
e todo
, vale