Utilize o princípio da indução finita para provar as afirmações dadas.
n<2^{n}, \forall n \in \mathbb{N}.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos provar, usando o princípio da indução finita, que para todo n \in \mathbb{N} vale
n < 2^n.
O esquema de prova por indução envolve dois pontos principais: verificar o caso base e depois o passo indutivo.

Passo 2

Caso base:
Para n=1 temos
1 < 2^1 = 2,
portanto a desigualdade é verdadeira quando n=1.

Passo 3

Hipótese indutiva:
Suponha que para algum k \in \mathbb{N} já seja verdade que
k < 2^k.

Passo 4

Passo indutivo:
Queremos mostrar que então
k+1 < 2^{k+1}.
Partindo da hipótese k < 2^k, somamos 1 em ambos os lados e obtemos
k+1 < 2^k + 1.
Como k \ge 1, segue 2^k \ge 2 e, portanto,
2^k + 1 \le 2^k + 2^k = 2^{k+1}.
Combinando as duas desigualdades temos
k+1 < 2^{k+1},
que é exatamente o que queríamos provar no passo indutivo.

Passo 5

Conclusão do processo de indução:
Verificamos o caso base ( n=1) e mostramos que a validade para n=k implica validade para n=k+1. Pelo princípio da indução finita, a desigualdade
n < 2^n
vale para todo n \in \mathbb{N}.

Resposta

A desigualdade \,n < 2^n é verdadeira para todo n \in \mathbb{N}.

Exercícios relacionados