Utilize o princípio da indução finita para provar as afirmações dadas.
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos provar, usando o princípio da indução finita, que para todo
vale
O esquema de prova por indução envolve dois pontos principais: verificar o caso base e depois o passo indutivo.
Passo 2
Caso base:
Para temos
Para
portanto a desigualdade é verdadeira quando
.
Passo 3
Hipótese indutiva:
Suponha que para algum já seja verdade que
Suponha que para algum
Passo 4
Passo indutivo:
Queremos mostrar que então
Queremos mostrar que então
Partindo da hipótese
, somamos 1 em ambos os lados e obtemos
Como
, segue
e, portanto,
Combinando as duas desigualdades temos
que é exatamente o que queríamos provar no passo indutivo.
Passo 5
Conclusão do processo de indução:
Verificamos o caso base ( ) e mostramos que a validade para
implica validade para
. Pelo princípio da indução finita, a desigualdade
Verificamos o caso base (
vale para todo
.
Resposta
A desigualdade
é verdadeira para todo
.