Utilize o princípio da indução finita para provar as afirmações dadas.
, sendo
.
Passo 1
Vamos provar por indução finita que, para todo
,
sendo
(para não anular o denominador).
Passo 2
Caso base (
). À esquerda temos
e à direita
Logo a fórmula vale para
.
Passo 3
Passo indutivo. Suponha que, para algum
,
Essa é a hipótese de indução.
Passo 4
Mostramos que a fórmula vale também para
. Começamos escrevendo a soma até
e usamos a hipótese:
Agora colocamos tudo sobre o mesmo denominador:
Isso mostra que, se vale para
, então vale para
.
Passo 5
Concluímos que a fórmula é verdadeira para todo
por indução finita.