Utilize o princípio da indução finita para provar as afirmações dadas.
1+r+r^{2}+\cdots+r^{n}=\frac{1-r^{n+1}}{1-r}, \forall n \in \mathbb{N}, sendo r \neq-1.

Passo 1

Vamos provar por indução finita que, para todo n\in\mathbb{N},
1 + r + r^{2} + \cdots + r^{n} \;=\;\frac{1 - r^{n+1}}{1 - r},
sendo r \neq 1 (para não anular o denominador).

Passo 2

Caso base ( n=0). À esquerda temos
1 + r + \cdots + r^{0} = 1,
e à direita
\frac{1 - r^{0+1}}{1 - r} =\frac{1 - r}{1 - r} =1.
Logo a fórmula vale para n=0.

Passo 3

Passo indutivo. Suponha que, para algum n=k,
1 + r + r^{2} + \cdots + r^{k} =\frac{1 - r^{k+1}}{1 - r}.
Essa é a hipótese de indução.

Passo 4

Mostramos que a fórmula vale também para n=k+1. Começamos escrevendo a soma até k+1 e usamos a hipótese:
1 + r + \cdots + r^{k} + r^{k+1} =\bigl(1 + r + \cdots + r^{k}\bigr) + r^{k+1} =\frac{1 - r^{k+1}}{1 - r} + r^{k+1}.
Agora colocamos tudo sobre o mesmo denominador:
\frac{1 - r^{k+1}}{1 - r} + r^{k+1} =\frac{1 - r^{k+1} + r^{k+1}(1 - r)}{1 - r} =\frac{1 - r^{k+1} + r^{k+1} - r^{k+2}}{1 - r} =\frac{1 - r^{k+2}}{1 - r}.
Isso mostra que, se vale para n=k, então vale para n=k+1.

Passo 5

Concluímos que a fórmula é verdadeira para todo n\in\mathbb{N} por indução finita.

Resposta

1 + r + r^{2} + \cdots + r^{n} =\frac{1 - r^{n+1}}{1 - r},\quad \forall n\in\mathbb{N},\; r\neq1.

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