Utilize o princípio da indução finita para provar as afirmações dadas.
\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n} \leq n, \forall n \in \mathbb{N}, n \geq 3.

Passo 1

Resumindo: queremos provar por indução finita que
\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n} \le n \quad\text{para todo }n\in\mathbb{N},\,n\ge3.
O método será o clássico: base de indução e passo indutivo.

Passo 2

(Base de indução) Para n=3, calculamos
\left(\frac{3+1}{3}\right)^{3} =\left(\frac{4}{3}\right)^{3} =\frac{64}{27}\approx2{,}37\le3
Logo, a desigualdade vale para n=3.

Passo 3

(Hipótese de indução) Suponha que para algum k\ge3 valha
\left(\frac{k+1}{k}\right)^{k}\le k.

Passo 4

(Passo indutivo) Precisamos mostrar que
\left(\frac{(k+1)+1}{\,k+1\,}\right)^{k+1} =\left(\frac{k+2}{k+1}\right)^{k+1}\le k+1.
Reescrevendo,
\left(\frac{k+2}{k+1}\right)^{k+1} =\left(\frac{k+2}{k+1}\right)^{k}\cdot\frac{k+2}{k+1}.

Passo 5

Note que
\frac{k+2}{k+1} =1+\frac1{k+1} <1+\frac1{k} \quad\Longrightarrow\quad \left(\frac{k+2}{k+1}\right)^{k} \le\left(\frac{k+1}{k}\right)^{k}.
Pela hipótese de indução segue
\left(\frac{k+2}{k+1}\right)^{k}\le k.

Passo 6

Multiplicando pelo fator \frac{k+2}{k+1}, obtemos
\left(\frac{k+2}{k+1}\right)^{k+1} \le k\cdot\frac{k+2}{k+1} =\frac{k(k+2)}{k+1} =\frac{k^2+2k}{k+1}.

Passo 7

Basta então verificar
\frac{k^2+2k}{k+1}\le k+1 \quad\Longleftrightarrow\quad k^2+2k\le(k+1)^2=k^2+2k+1,
o que é equivalente a 0\le1, sempre verdadeiro.

Passo 8

Concluímos que se a desigualdade vale para k então vale para k+1. Como já dissemos que vale em n=3, pelo princípio da indução ela vale para todo n\ge3.

Resposta

A desigualdade
\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}\le n
é verdadeira para todo n\in\mathbb{N} com n\ge3.

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