Utilize o princípio da indução finita para provar as afirmações dadas.
.
Passo 1
Resumindo: queremos provar por indução finita que
O método será o clássico: base de indução e passo indutivo.
Passo 2
(Base de indução) Para
, calculamos
Logo, a desigualdade vale para
.
Passo 3
(Hipótese de indução) Suponha que para algum
valha
Passo 4
(Passo indutivo) Precisamos mostrar que
Reescrevendo,
Passo 5
Note que
Pela hipótese de indução segue
Passo 6
Multiplicando pelo fator
, obtemos
Passo 7
Basta então verificar
o que é equivalente a
, sempre verdadeiro.
Passo 8
Concluímos que se a desigualdade vale para
então vale para
. Como já dissemos que vale em
, pelo princípio da indução ela vale para todo
.
Resposta
A desigualdade
é verdadeira para todo
com
.