Utilize as propriedades da antidiferenciação e em alguns itens a mudança de variável para calcular a integral abaixo:
integral0^1 2 t(t^2+5)^20 d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^1 2,tl(t^2+5r)^20 ,dt
Isso envolve antidiferenciação e, em particular, a técnica de mudança de variável (substituição).

Passo 2

Observamos que a presença de 2,t,dt sugere usar a substituição
u = t^2 + 5
Calculamos a diferencial de u:
du = 2,t,dt

Passo 3

Com u = t^2+5 e du = 2,t,dt, a integral original torna-se
integral 2,tl(t^2+5r)^20 , dt = integral u^20,du
Também precisamos transformar os limites de integração:
  • Quando t=0, u = 0^2+5 = 5.
  • Quando t=1, u = 1^2+5 = 6.

Passo 4

A integral em u com os novos limites fica
integral5^6 u^20,du
Para integrar, usamos a fórmula
integral u^n du = u^n+1n+1 + C
Aqui n=20, logo
integral5^6 u^20,du = [u^2121]5^6

Passo 5

Agora avaliamos a expressão entre os limites:
u^2121|5^6 = 6^2121 ;-; 5^2121 = 6^21 - 5^2121

Resposta

integral0^1 2,tl(t^2+5r)^20 dt = 6^21 - 5^2121

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