Utilize as propriedades da antidiferenciação e em alguns itens a mudança de variável para calcular a integral abaixo:
integral1^2(4 x^3-3 x^2+2 x+3) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
integral1^2l(4x^3-3x^2+2x+3r),dx
O conteúdo aplicado é a antidiferenciação de polinômios, usando a linearidade da integral e a regra de potência integral x^ndx = x^n+1n+1.

Passo 2

Usamos a linearidade da integral para separar termos e em seguida aplicamos a regra de potência a cada monômio:
integrall(4x^3-3x^2+2x+3r),dx = integral 4x^3,dx ;-;integral 3x^2,dx ;+;integral 2x,dx ;+;integral 3,dx
Calculando cada uma:
integral 4x^3,dx = 4cdotx^44 = x^4, integral 3x^2,dx = 3cdotx^33 = x^3,
integral 2x,dx = 2cdotx^22 = x^2, integral 3,dx = 3x
Logo uma primitiva comum é
F(x) = x^4 - x^3 + x^2 + 3x

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
integral1^2l(4x^3-3x^2+2x+3r),dx = F(2) - F(1)
Calculando:
F(2) = 2^4 - 2^3 + 2^2 + 3cdot2 = 16 - 8 + 4 + 6 = 18,
F(1) = 1^4 - 1^3 + 1^2 + 3cdot1 = 1 - 1 + 1 + 3 = 4

Passo 4

Portanto,
integral1^2l(4x^3-3x^2+2x+3r),dx = 18 - 4 = 14

Resposta

14

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