Utilize as propriedades da antidiferenciação e em alguns itens a mudança de variável para calcular a integral abaixo:
integral1^2 t^2 d t(t^3+2)^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral1^2 t^2,dtl(t^3+2r)^2
usando propriedades de antiderivação (como fatorar constantes) e mudança de variável. O conteúdo principal é reconhecer a forma u=t^3+2 para simplificar a integral.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
u = t^3 + 2
Então
du = 3,t^2,dt Longrightarrow t^2,dt = du3

Passo 3

Vamos também converter os limites de integração:
quando t=1,;u=1^3+2=3, quando t=2,;u=2^3+2=10
Substituindo na integral, temos
integral1^2 t^2,dt(t^3+2)^2 = integralu=3^u=10 1u^2;du3 = 13integral3^10 u^-2,du

Passo 4

Usamos a antiderivação de u^n, que é integral u^ndu = u^n+1/(n+1) para nneq -1. Aqui n=-2, então
integral u^-2,du = u^-1-1 = -,u^-1
Logo
13integral3^10 u^-2,du = 13l[-,u^-1r]3^10 = 13l(-110 + 13r)

Passo 5

Basta calcular a diferença:
-110 + 13 = -330 + 1030 = 730
Multiplicando pelo 1/3,
13cdot730 = 790

Resposta

790

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