Utilize as propriedades da antidiferenciação e em alguns itens a mudança de variável para calcular a integral abaixo:
integral x^3 cdot e^x 4 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^3 e^x^4,dx
utilizando propriedades de antiderivação e substituição de variáveis. O conteúdo-chave aqui é o método de substituição, que funciona como a regra da cadeia invertida.

Passo 2

Observamos que a derivada de x^4 é 4x^3, e na integral aparece exatamente o fator x^3,dx, o que sugere a substituição
u = x^4

Passo 3

Diferenciando u em relação a x, temos
du = 4x^3,dx,
ou seja,
x^3,dx = du4

Passo 4

Substituindo na integral original, fica
integral x^3 e^x^4,dx = integral e^u,du4 = tfrac14integral e^u,du

Passo 5

A antiderivada de e^u é e^u. Portanto,
tfrac14integral e^u,du = tfrac14e^u + C

Passo 6

Voltando à variável x, substituímos u = x^4:
tfrac14e^u + C = tfrac14e^x^4 + C

Resposta

14,e^x^4 + C

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