Utilize as propriedades apresentadas para o cálculo de limites e determine:
lim x 3+ xraizx^2-9.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto3^+xraizx^2-9
O conteúdo envolvido é análise de limites de funções que envolvem radicais. Vamos usar propriedades de limites de funções contínuas e o comportamento de uma raiz quadrada quando seu argumento tende a zero pela direita.

Passo 2

Verificamos o domínio da função xraizx^2-9. O denominador exige
x^2-9>0Longrightarrow x>3 ou x<-3
Como estamos levando xto3^+, só interessa a região x>3. Nessa região o radicando é positivo e a raiz está bem definida e é contínua.

Passo 3

Reescrevemos o denominador destacando o fator que tende a zero:
raizx^2-9 =raiz(x-3)(x+3)
Quando xto3^+, temos x+3to6 (constante positiva) e x-3to0^+. Logo
raiz(x-3)(x+3) =raizx+3,raizx-3 simraiz6,raizx-3,
isto é, o denominador é equivalente a raiz6,raizx-3, que vai a zero pelo lado positivo.

Passo 4

No numerador xto3^+ tende a 3. Assim, para x muito próximo de 3 pela direita,
xraizx^2-9 ;approx;3raiz6,raizx-3
Como o denominador raizx-3 tende a 0^+, a fração cresce sem limite, ou seja, vai para +infty.

Resposta

limxto3^+xraizx^2-9 = +infty

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