Tente explicar as seguintes propriedades da ordem dos números reais: Sejam quaisquer
(c) Se
e
então
.
(c) Se
Passo 1
O enunciado pede para provar a propriedade de ordem que diz: “Se
e
então
”.
Conteúdo: estamos usando a estrutura de corpo ordenado em . Precisamos de dois fatos básicos:
Conteúdo: estamos usando a estrutura de corpo ordenado em
-
é equivalente a . - Se
e então .
Passo 2
Como
, podemos escrever
Passo 3
Multiplicamos essa desigualdade por
, que por hipótese satisfaz
. Pela propriedade de que produto de não-negativos é não-negativo, temos
Passo 4
Expandindo o produto,
logo
Resposta
Ficou demonstrado que, sempre que
e
, segue-se
.