Tente explicar as seguintes propriedades da ordem dos números reais: Sejam quaisquer a, b, c in R
(c) Se c >= 0 e a <= b então a cdot c <= b cdot c.

Passo 1

O enunciado pede para provar a propriedade de ordem que diz: “Se c>= 0 e a<= b então acdot c<= bcdot c”.
Conteúdo: estamos usando a estrutura de corpo ordenado em R. Precisamos de dois fatos básicos:
  1. a<= b é equivalente a b - a>= 0.
  2. Se x>= 0 e y>= 0 então xcdot y>= 0.

Passo 2

Como a<= b, podemos escrever
b - a ;>=; 0

Passo 3

Multiplicamos essa desigualdade por c, que por hipótese satisfaz c>= 0. Pela propriedade de que produto de não-negativos é não-negativo, temos
(b - a),c ;>=; 0

Passo 4

Expandindo o produto,
(b - a),c = b,c ;-; a,c,
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b,c - a,c ;>=; 0 Longrightarrow a,c ;<=; b,c

Resposta

Ficou demonstrado que, sempre que c>= 0 e a<= b, segue-se acdot c<= bcdot c.

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