Utilize a regra da cadeia para calcular a derivada da seguinte função:
f(t)=arctan (raiz9 t^5-3 t^2-1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(t)=arctanl(raiz9t^5-3t^2-1r) usando a regra da cadeia. O conteúdo envolvido é a derivação de uma composição de funções: arctan, raiz quadrada e um polinômio. Para resolver, vamos precisar das fórmulas de derivada de arctan(u), de raizv e de um polinômio.

Passo 2

Definimos duas funções internas: u(t)=raizv(t) e v(t)=9t^5-3t^2-1. Assim podemos ver f(t)=arctanl(u(t)r).
Para y=arctan(u), a derivada é y'=dfracu'1+u^2. Aplicamos isso a f(t), obtendo f'(t)=u'(t)1+l(u(t)r)^2.

Passo 3

Agora derivamos u(t)=l(v(t)r)^1/2. Usando a regra da potência e cadeia, temos u'(t)=12l(v(t)r)^-1/2cdot v'(t)=v'(t)2raizv(t)
Precisamos de v'(t). Como v(t)=9t^5-3t^2-1, sua derivada é v'(t)=45t^4-6t

Passo 4

Substituindo u'(t), u(t) e v(t) em f'(t), temos: f'(t)=11+l(raizv(t)r)^2cdot45t^4-6t2raizv(t)
Observamos que 1+l(raizv(t)r)^2=1+v(t)=1+(9t^5-3t^2-1)=9t^5-3t^2 Substituindo e simplificando, chegamos a: f'(t)=45t^4-6t2raiz9t^5-3t^2-1,(9t^5-3t^2)

Resposta

f'(t)=45t^4-6t2raiz9t^5-3t^2-1,(9t^5-3t^2)

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