Utilize a regra da cadeia para calcular a derivada da seguinte função:
f(t)=e^tan (5 t^2-3 t)

Passo 1

Temos a função f(t)=e^tan(5t^2 - 3t). O conteúdo aqui é derivar uma função composta de três níveis usando regra da cadeia: exponencial, tangente e polinomial.

Passo 2

Definimos as funções internas
u(t)=tan(v(t))
e
v(t)=5t^2-3t.
Assim, podemos reescrever f(t)=e^u(t).

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia em dois estágios:
  • A derivada de e^u(t) é e^u(t)cdot u'(t).
  • A derivada de tan(v(t)) é sec^2(v(t))cdot v'(t).
    Portanto,
f'(t)=e^u(t)cdotsec^2(v(t))cdot v'(t)

Passo 4

Calculamos a derivada de v(t)=5t^2-3t:
v'(t)=10t-3
Substituindo u(t), v(t) e v'(t) na expressão de f'(t), obtemos:

Passo 5

Em bloco, a derivada final fica:
f'(t)=e^tan(5t^2 - 3t)cdotsec^2(5t^2 - 3t)cdot(10t-3)

Resposta

f'(t)=e^tan(5t^2 - 3t)cdotsec^2(5t^2 - 3t)cdot(10t-3)

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