Utilize a regra da cadeia para calcular a derivada da seguinte função:
f(x)=tan (6 x) cdot raizcos (-2 x)

Passo 1

Resumimos o enunciado: f(x)=tan(6x)cdotraizcos(-2x). Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Identificamos u(x)=tan(6x) e v(x)=raizcos(-2x). Pela regra do produto temos
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 3

Para u(x)=tan(6x), aplicamos a regra da cadeia: derivada de tan(u) é sec^2(u)cdot u'. Logo:
u'(x)=sec^2(6x)cdot6=6,sec^2(6x)

Passo 4

Para v(x)=(cos(-2x))^1/2, seja g(x)=cos(-2x), então v(x)=g(x)^1/2. Pela regra da cadeia:
v'(x)=12raizg(x),g'(x)
Como g'(x)=-sin(-2x)cdot(-2)=2,sin(-2x), temos
v'(x)=2,sin(-2x)2raizcos(-2x)=sin(-2x)raizcos(-2x)

Passo 5

Substituindo u' e v' em f':
f'(x)=6,sec^2(6x),raizcos(-2x)+tan(6x),sin(-2x)raizcos(-2x)
Usando sin(-2x)=-sin(2x) e cos(-2x)=cos(2x), uma forma simplificada é
f'(x)=6,sec^2(6x),raizcos(2x)-tan(6x),sin(2x)raizcos(2x)

Resposta

f’(x)=6,\sec^2(6x),\sqrt{\cos(2x)}-\tan(6x),\frac{\sin(2x)}{\sqrt{\cos(2x)}}

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