Utilize a regra da cadeia para calcular a derivada da seguinte função:
f(x)=arcsin (tan ^3 x)

Passo 1

A função é f(x) = arcsin(tan^3 x). O conteúdo é regra da cadeia, pois temos uma composição de três funções: x ↦ tan x, depois u ↦ u^3, depois v ↦ arcsin v. Para resolver, vamos precisar da derivada de arcsin(u), da derivada de u^3 e da derivada de tan x.

Passo 2

Aplicamos a primeira etapa da regra da cadeia à parte externa arcsin(u). Se u(x)=tan^3 x, então
f'(x)=1raiz1-(u(x))^2cdot u'(x)=1raiz1-(tan^3 x)^2,u'(x)

Passo 3

Agora derivamos u(x)=tan^3 x usando potência e cadeia. Se v(x)=tan x, então u=v^3 e
u'(x)=3,v^2(x)cdot v'(x)=3,tan^2 xcdotsec^2 x

Passo 4

Substituindo u'(x) em f'(x), obtemos
f'(x)=1raiz1-tan^6 xcdotl(3,tan^2 xsec^2 xr)=3,tan^2 xsec^2 xraiz1-tan^6 x

Resposta

f'(x)=dfrac3,tan^2 xsec^2 xraiz1-tan^6 x

Exercícios relacionados