Utilize a regra da cadeia para calcular a derivada da seguinte função:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função $ f(x) = \sqrt[5]{x^{2}} \cdot \sec \left(-8 x^{4}+7\right) $ utilizando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação de funções compostas, da função potência e da função secante, além da regra do produto, já que temos um produto de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas:
- $ u(x) = \sqrt[5]{x^{2}} $, que pode ser reescrita como $ u(x) = x^{\frac{2}{5}} $.
- $ v(x) = \sec(-8x^{4} + 7) $.
Para derivar $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $, vamos usar a regra do produto.
Passo 3
A regra do produto diz que se temos uma função $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $, então sua derivada é:
Então, precisamos encontrar $ u’(x) $ e $ v’(x) $.
Passo 4
Vamos encontrar $ u’(x) $. Sabemos que:
Aplicando a regra do poder, que afirma que a derivada de $ x^{n} $ é $ n \cdot x^{n-1} $:
Passo 5
Agora, vamos derivar $ v(x) = \sec(-8x^{4} + 7) $. Para isso, usamos a regra da cadeia, já que temos uma função composta.
A derivada de $ \sec(u) $ é $ \sec(u) \cdot \tan(u) \cdot u’ $. Então:
Calculando a derivada dentro:
Então:
Passo 6
Agora, aplicamos a regra do produto combinando $ u’(x) $, $ v(x) $, $ u(x) $ e $ v’(x) $:
Substituindo:
Podemos simplificar:
Resposta
A derivada da função é: