Utilize a regra da cadeia para calcular a derivada da seguinte função:
f(x)=raiz[5]x^2 cdot sec (-8 x^4+7)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função $ f(x) = \sqrt[5]{x^{2}} \cdot \sec \left(-8 x^{4}+7\right) $ utilizando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação de funções compostas, da função potência e da função secante, além da regra do produto, já que temos um produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas:
  • $ u(x) = \sqrt[5]{x^{2}} $, que pode ser reescrita como $ u(x) = x^{\frac{2}{5}} $.
  • $ v(x) = \sec(-8x^{4} + 7) $.
Para derivar $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $, vamos usar a regra do produto.

Passo 3

A regra do produto diz que se temos uma função $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $, então sua derivada é:
f(x) = u(x) cdot v(x)
Então, precisamos encontrar $ u’(x) $ e $ v’(x) $.

Passo 4

Vamos encontrar $ u’(x) $. Sabemos que:
u'(x)
Aplicando a regra do poder, que afirma que a derivada de $ x^{n} $ é $ n \cdot x^{n-1} $:
u(x) = x^25

Passo 5

Agora, vamos derivar $ v(x) = \sec(-8x^{4} + 7) $. Para isso, usamos a regra da cadeia, já que temos uma função composta.
A derivada de $ \sec(u) $ é $ \sec(u) \cdot \tan(u) \cdot u’ $. Então:
v(x) = sec(-8x^4 + 7)
Calculando a derivada dentro:
sec(u)
Então:
sec(u) cdot tan(u) cdot u'

Passo 6

Agora, aplicamos a regra do produto combinando $ u’(x) $, $ v(x) $, $ u(x) $ e $ v’(x) $:
u'(x)
Substituindo:
v(x)
Podemos simplificar:
u(x)

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 25 cdot sec(-8x^4 + 7)x^35 - 32x^175 cdot sec(-8x^4 + 7) cdot tan(-8x^4 + 7)

Exercícios relacionados