Utilize a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções compostas:
y=4^{5 x-2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y = 4^{5x-2} usando a regra da cadeia. Vamos precisar da fórmula da derivada de uma exponencial com base constante e depois aplicar a cadeia.

Passo 2

Identificamos a parte externa e interna da função composta:
a parte externa é f(u)=4^u e a parte interna é u(x)=5x-2.

Passo 3

Pela regra da cadeia,
\frac{dy}{dx} = f'(u)\cdot u'(x).

Passo 4

Calculamos cada derivada:
f'(u)=\frac{d}{du}4^u = 4^u\ln(4),
u'(x)=\frac{d}{dx}(5x-2)=5.

Passo 5

Substituindo em \frac{dy}{dx}=f'(u)\,u'(x), temos
\frac{dy}{dx} = 4^u\ln(4)\cdot 5 = 5\ln(4)\,4^{5x-2}.

Resposta

y' = 5\ln(4)\,4^{5x-2}.

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