Utilize a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções compostas:
y=\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \ln\!\bigl(\frac{1+x}{1-x}\bigr).
O conteúdo envolvido é derivada de logaritmo e regra da cadeia, além da propriedade de logaritmos que transforma quociente em diferença.

Passo 2

Usamos a identidade de logaritmo para reescrever
y como
y = \ln(1+x) - \ln(1-x).

Passo 3

Derivando termo a termo com a regra da cadeia:
– Para \ln(1+x), a derivada é \dfrac{1}{1+x}\cdot(1) = \dfrac{1}{1+x}.
– Para -\ln(1-x), a derivada é -\dfrac{1}{1-x}\cdot(-1) = \dfrac{1}{1-x}.
Logo,
y' = \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x}.

Passo 4

Para simplificar, somamos as frações sobre o mesmo denominador (1+x)(1-x)=1-x^2:
y' = \frac{(1-x)+(1+x)}{(1+x)(1-x)} = \frac{2}{1-x^2}.

Resposta

y' = \displaystyle \frac{2}{1-x^2}

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