Utilize a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções compostas:
y=\left(4 x^{2}-5 x+2\right)^{-\frac{1}{3}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \bigl(4x^{2} - 5x + 2\bigr)^{-\tfrac{1}{3}}
usando a regra da cadeia. O conteúdo necessário é identificar uma função interna u(x) e uma externa y(u), depois aplicar
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}.

Passo 2

Definimos a função interna
u = 4x^{2} - 5x + 2
e a função externa em termos de u:
y = u^{-\tfrac{1}{3}}.

Passo 3

Derivamos a função externa em relação a u. Como y = u^{-\tfrac{1}{3}}, vale
\frac{dy}{du} = -\tfrac{1}{3}\,u^{-\tfrac{1}{3}-1} = -\tfrac{1}{3}\,u^{-\tfrac{4}{3}}.

Passo 4

Derivamos a função interna em relação a x. Como u = 4x^{2} - 5x + 2, temos
\frac{du}{dx} = 8x - 5.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia:
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx} = \Bigl(-\tfrac{1}{3}\,u^{-\tfrac{4}{3}}\Bigr)\,(8x - 5).
Substituindo u = 4x^{2}-5x+2, concluímos
\frac{dy}{dx} = -\frac{8x - 5}{3\,\bigl(4x^{2} - 5x + 2\bigr)^{\tfrac{4}{3}}}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\frac{8x - 5}{3\,\bigl(4x^{2} - 5x + 2\bigr)^{\tfrac{4}{3}}}.

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