Utilize a Regra da Cadeia e calcule a derivada f^{\prime}(x) para cada função dada:
f(x)=\operatorname{Cosec}^{-1}\left(2 e^{3 x}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\operatorname{Cosec}^{-1}\bigl(2e^{3x}\bigr),
usando a Regra da Cadeia. Aqui temos uma função composta em que a parte externa é a função inversa da cosecante e a parte interna é u(x)=2e^{3x}.

Passo 2

Lembramos que a derivada de \operatorname{Cosec}^{-1}(u) em relação a x é dada por
\frac{d}{dx}\Bigl[\operatorname{Cosec}^{-1}(u)\Bigr] = -\frac{u'}{\lvert u\rvert\,\sqrt{u^{2}-1}}.

Passo 3

Identificamos u(x)=2e^{3x}. Calculamos sua derivada usando a Regra da Cadeia em 2e^{3x}:
u'(x)=2\cdot\frac{d}{dx}\bigl(e^{3x}\bigr) =2\cdot\bigl(3e^{3x}\bigr) =6e^{3x}.

Passo 4

Substituímos u e u' na fórmula da derivada de \operatorname{Cosec}^{-1}(u):
f'(x) =-\frac{6e^{3x}}{\lvert 2e^{3x}\rvert\,\sqrt{\bigl(2e^{3x}\bigr)^{2}-1}}.
Como e^{3x}>0 para todo x, temos \lvert 2e^{3x}\rvert=2e^{3x}. Logo,
f'(x) =-\frac{6e^{3x}}{2e^{3x}\,\sqrt{4e^{6x}-1}} =-\frac{3}{\sqrt{4e^{6x}-1}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{3}{\sqrt{4e^{6x}-1}}.

Exercícios relacionados