Utilize a Regra da Cadeia e calcule a derivada f^{\prime}(x) para cada função dada:
f(x)=\operatorname{Cotg}^{-1}\left(e^{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\operatorname{Cotg}^{-1}\bigl(e^{x}\bigr).
Aqui vamos usar a regra da cadeia, identificando a função externa g(u)=\operatorname{Cotg}^{-1}(u) e a interna h(x)=e^{x}.

Passo 2

Derivada da função externa: se g(u)=\operatorname{Cotg}^{-1}(u), então
g'(u)=-\frac{1}{1+u^{2}},
pois a derivada de \cot^{-1}(u) é -1/(1+u^{2}).

Passo 3

Derivada da função interna: para h(x)=e^{x} vale
h'(x)=e^{x}.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x), temos
f'(x) =\Bigl(-\frac{1}{1+(e^{x})^{2}}\Bigr)\cdot e^{x} =-\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}.

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