Utilize a Regra da Cadeia e calcule a derivada f^{\prime}(x) para cada função dada:
f(x)=\ln \left(\operatorname{tg}^{-1}(3 x)\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\ln\bigl(\operatorname{tg}^{-1}(3x)\bigr),
ou seja, vamos usar a Regra da Cadeia combinada com as fórmulas de derivada de \ln(u) e de \operatorname{tg}^{-1}(v). Definimos internamente duas “camadas”:
  1. u(x)=\operatorname{tg}^{-1}(3x)
  2. f(x)=\ln\bigl(u(x)\bigr)

Passo 2

Aplicamos primeiro a derivada de \ln(u). Sabemos que
\frac{d}{dx}\ln\bigl(u(x)\bigr)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Logo,
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{u'(x)}{\operatorname{tg}^{-1}(3x)}.

Passo 3

Agora derivamos u(x)=\operatorname{tg}^{-1}(3x). Sabemos que
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}^{-1}\bigl(v(x)\bigr)=\frac{v'(x)}{1+\bigl(v(x)\bigr)^2}.
Aqui v(x)=3x, então v'(x)=3 e
u'(x)=\frac{3}{1+(3x)^2}=\frac{3}{1+9x^2}.

Passo 4

Substituindo u'(x) em f'(x)=\dfrac{u'(x)}{\operatorname{tg}^{-1}(3x)}, obtemos
f'(x) =\frac{\displaystyle \frac{3}{1+9x^2}}{\displaystyle \operatorname{tg}^{-1}(3x)} =\frac{3}{\bigl(1+9x^2\bigr)\,\operatorname{tg}^{-1}(3x)}.

Resposta

f'(x)=\frac{3}{\bigl(1+9x^2\bigr)\,\operatorname{tg}^{-1}(3x)}.

Exercícios relacionados