1. x d yd x+3(y+x^2)=sen xx

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
xdydx+3l(y+x^2r)=sin xx,
que é uma EDO linear de primeira ordem. Vamos reconhecê-la na forma
dydx+P(x),y=Q(x)
e usar o método do fator integrante.

Passo 2

Dividindo a equação original por x (supondo xneq0), obtemos
dydx+3x,y+3x=sin xx^2,
ou seja
dydx+underbrace3xP(x),y =underbracesin xx^2-3xQ(x)

Passo 3

O fator integrante é
mu(x)=expl(integral P(x),dxr) =expl(integral tfrac3x,dxr) =exp(3ln x) =x^3

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x)=x^3, temos
x^3dydx+3x^2y =x^3l(sin xx^2-3xr) =xsin x-3x^4
O lado esquerdo é a derivada exata
ddxl(x^3yr) =xsin x-3x^4

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^3y =integrall(xsin x-3x^4r),dx =integral xsin x,dx-3integral x^4,dx
Pela integração por partes,
integral xsin x,dx =-xcos x+sin x, integral x^4,dx=x^55
Logo
x^3y =-xcos x+sin x-3x^55+C

Passo 6

Isolando y e simplificando,
y(x) =-xcos x+sin xx^3-3x^55x^3+Cx^3 =-cos xx^2+sin xx^3-35x^2+Cx^3

Resposta

boxedy(x)=-cos xx^2+sin xx^3-35x^2+Cx^3,
onde C é a constante de integração.

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