Determine a derivada direcional da função no ponto P dado na direção do vetor v. f(x, y, z)=x e^z+y e^z+z e^x, P(0,0,3), v=(5,1,-2)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de derivada direcional. Temos a função , o ponto e o vetor . Para encontrar a derivada direcional, vamos precisar usar cálculo multivariável, especialmente as derivadas parciais e o conceito de produto escalar.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor gradiente da função nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação a cada variável. Ou seja:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
  1. Derivada parcial em relação a partial fpartial x = e^z + z e^x :
partial fpartial y = e^z
  1. Derivada parcial em relação a partial fpartial z = x e^z + y e^z + e^x :
  1. Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto partial fpartial xg|P = e^3 + 3 e^0 = e^3 + 3 :
  1. Para partial fpartial yg|P = e^3 em partial fpartial zg|P = 0 cdot e^3 + 0 cdot e^3 + e^0 = 1 :
nabla f(P) = ( e^3 + 3, e^3, 1 )
  1. Para em :
  1. Para em :
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 5

Agora, precisamos normalizar o vetor | v | = raiz5^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz25 + 1 + 4 = raiz30 para obter a direção unitária u = ( 5raiz30, 1raiz30, -2raiz30 ) . A normalização é feita dividindo cada componente do vetor pelo seu comprimento:
Então, a direção unitária é:

Passo 6

A derivada direcional Dv f(P) = nabla f(P) cdot u = ( e^3 + 3 ) cdot 5raiz30 + e^3 cdot 1raiz30 + 1 cdot -2raiz30 é o produto escalar entre o gradiente Dv f(P) = 5(e^3 + 3) + e^3 - 2raiz30 = 6 e^3 + 13raiz30 e a direção unitária :
Simplificando os termos:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção do vetor é .

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