Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de derivada direcional. Temos a função , o ponto e o vetor . Para encontrar a derivada direcional, vamos precisar usar cálculo multivariável, especialmente as derivadas parciais e o conceito de produto escalar.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o vetor gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação a cada variável. Ou seja:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Para em :
Para em :
Para em :
Portanto, o gradiente no ponto é:
Passo 5
Agora, precisamos normalizar o vetor | v | = raiz5^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz25 + 1 + 4 = raiz30 para obter a direção unitária u = ( 5raiz30, 1raiz30, -2raiz30 ) . A normalização é feita dividindo cada componente do vetor pelo seu comprimento:
Então, a direção unitária é:
Passo 6
A derivada direcional Dv f(P) = nabla f(P) cdot u = ( e^3 + 3 ) cdot 5raiz30 + e^3 cdot 1raiz30 + 1 cdot -2raiz30 é o produto escalar entre o gradiente Dv f(P) = 5(e^3 + 3) + e^3 - 2raiz30 = 6 e^3 + 13raiz30 e a direção unitária :
Simplificando os termos:
Resposta
A derivada direcional da função no ponto na direção do vetor é .