Utilize a regra da cadeia para determinar fracpartial zpartial u e fracpartial zpartial v :
z=e^x^2 y ; x=raizu v, y=1 / v

Passo 1

O enunciado pede para usarmos a regra da cadeia em variáveis múltiplas para calcular
partial zpartial u e partial zpartial v,
sabendo que
z = e^x^2 y, x = raizuv, y = 1v
O conteúdo envolvido é a derivada parcial de uma função composta.

Passo 2

Primeiro vamos achar as derivadas parciais de z em relação a x e a y. Como
z = e^x^2 y,
aplicando regra da cadeia na exponencial, temos
partial zpartial x = e^x^2 ycdotpartialpartial x(x^2 y) = e^x^2 ycdot 2x y,
partial zpartial y = e^x^2 ycdotpartialpartial y(x^2 y) = e^x^2 ycdot x^2

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de x e y em relação a u. Como
x = (uv)^1/2,
partial xpartial u = 12(uv)^-1/2cdot v = v2raizuv,
e como y = 1/v não depende de u,
partial ypartial u = 0

Passo 4

Usando a regra da cadeia para partial zpartial u,
partial zpartial u = partial zpartial xpartial xpartial u + partial zpartial ypartial ypartial u = (2xy e^x^2 y)v2raizuv + (x^2 e^x^2 y)cdot 0
Isso simplifica para
partial zpartial u = xy,e^x^2 y,vraizuv = y,v,e^x^2 y
porque x/raizuv=1. Como y=1/v e x^2y = u, segue
partial zpartial u = e^u

Passo 5

Agora para partial zpartial v precisamos de
partial xpartial v = 12(uv)^-1/2cdot u = u2raizuv, partial ypartial v = ddvl(1vr) = -1v^2
Aplicando regra da cadeia,
partial zpartial v = partial zpartial xpartial xpartial v + partial zpartial ypartial ypartial v = (2xy e^x^2 y)u2raizuv + (x^2 e^x^2 y)l(-1v^2r)
Como antes x/raizuv=1, x^2=uv e y=1/v, isso vira
partial zpartial v = u,y,e^x^2 y - uvv^2,e^x^2 y = uve^x^2 y - uve^x^2 y = 0

Resposta

partial zpartial u = e^u, partial zpartial v = 0

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