Utilize a regra da cadeia para determinar partial zpartial u e partial zpartial v :
z=x / y ; x=2 cos (u), y=3 sen(v)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as derivadas parciais de z = xy, x = 2 cos(u), y = 3 sin(v) em relação a e usando a regra da cadeia. A gente tem as funções:
Então, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivar essas funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de partial zpartial x = 1y, partial zpartial y = -xy^2 em relação a e a . Como , temos:
Essas derivadas são básicas e servem como base para aplicar a regra da cadeia.

Passo 3

Agora, vamos derivar dxdu = -2 sin(u), dydv = 3 cos(v) em relação a e em relação a :
Essas são derivadas diretas das funções dadas para e .

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para partial zpartial u = partial zpartial x cdot dxdu + partial zpartial y cdot dydu , temos:
partial zpartial u = 1y cdot (-2 sin(u)) = -2 sin(u)y
Mas como partial zpartial u = -2 sin(u)3 sin(v) não depende de , . Então:
Substituindo :

Passo 5

Agora, para partial zpartial v = partial zpartial x cdot dxdv + partial zpartial y cdot dydv , aplicamos novamente a regra da cadeia:
partial zpartial v = -xy^2 cdot 3 cos(v)
Aqui, partial zpartial v = -2 cos(u)(3 sin(v))^2 cdot 3 cos(v) = -6 cos(u) cos(v)9 sin^2(v) = -2 cos(u) cos(v)3 sin^2(v) não depende de , então . Assim:
Substituindo e :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial u = -2 sin(u)3 sin(v)
e
partial zpartial v = -2 cos(u) cos(v)3 sin^2(v)

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