Utilize a regra da cadeia para determinar partial zpartial u e partial zpartial v :
z=e^x^2 y ; x=raizu v, y=1 / v

Passo 1

Vamos analisar o que o exercício está pedindo. Temos uma função composta , onde e . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais e usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia em funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções intermediárias. Temos:
z = e^x^2 y
onde
x = raizu v e y = 1v
Precisamos encontrar e . Vamos usar a regra da cadeia, que nos permite calcular derivadas de funções compostas.

Passo 3

Vamos calcular partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u + partial zpartial y cdot partial ypartial u . Aplicando a regra da cadeia:
partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u
No entanto, observamos que não depende de , ou seja, . Então, a expressão simplifica para:

Passo 4

Vamos encontrar z = e^x^2 y implies partial zpartial x = e^x^2 y cdot partial (x^2 y)partial x = e^x^2 y cdot (2x y) :
partial zpartial x = 2x y e^x^2 y
Então,

Passo 5

Agora, encontramos x = raizu v = (u v)^12 implies partial xpartial u = 12 (u v)^-12 cdot v = v2 raizu v = raizv2 raizu . Sabemos que:

Passo 6

Substituindo partial zpartial u = 2x y e^x^2 y cdot raizv2 raizu = x y e^x^2 y cdot raizv raizu e partial zpartial u = raizu v cdot 1v cdot e^(raizu v)^2 cdot 1v cdot raizvraizu na expressão para partial zpartial u = raizu vv cdot e^u cdot raizvraizu = raizu v cdot raizvv cdot raizu cdot e^u = vv cdot e^u = e^u :
Sabemos que e , então substituindo:
Simplificando:

Passo 7

Agora vamos calcular partial zpartial v = partial zpartial x cdot partial xpartial v + partial zpartial y cdot partial ypartial v . Aplicando a regra da cadeia:
Vamos calcular cada termo individualmente.

Passo 8

Já temos x = raizu v implies partial xpartial v = 12 (u v)^-12 cdot u = u2 raizu v = raizu2 raizv . Agora, vamos encontrar :

Passo 9

Agora, encontramos z = e^x^2 y implies partial zpartial y = e^x^2 y cdot x^2 :
partial zpartial y = x^2 e^x^2 y
Então,

Passo 10

Vamos encontrar y = 1v implies partial ypartial v = -1v^2 . Sabemos que:

Passo 11

Agora, substituímos todos os termos na expressão para partial zpartial v = 2x y e^x^2 y cdot raizu2 raizv + x^2 e^x^2 y cdot (-1v^2) :
partial zpartial v = x y e^x^2 y cdot raizuraizv - x^2 e^x^2 yv^2
Simplificando:
partial zpartial v = raizu v cdot 1v cdot e^u cdot raizuraizv - (raizu v)^2 e^uv^2 = raizu v cdot raizuv cdot raizv e^u - u v e^uv^2
Substituindo partial zpartial v = u raizvv cdot raizv e^u - uv e^u = uv e^u - uv e^u = 0 e :
Simplificando:

Resposta

partial zpartial u = e^u e partial zpartial v = 0

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