Utilize a regra da cadeia para encontrar a derivada das seguintes funções:
b) g(x)=(x^3-3)^6

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a derivada da função $ g(x) = \left(x^{3} - 3\right)^{6} $ usando a regra da cadeia. Isso está dentro da matéria de Cálculo, especificamente nas derivadas. Para resolver, vamos precisar entender como a regra da cadeia funciona, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem a função composta. Aqui, temos uma função externa e uma função interna:
  • Função externa: $ u^{6} $, onde $ u = x^{3} - 3 $
  • Função interna: $ x^{3} - 3 $
A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta $ f(g(x)) $ é $ f’(g(x)) \cdot g’(x) $.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função. Primeiro, derivamos a função externa em relação a $ u $:
u
Agora, derivamos a função interna em relação a $ x $:
ddu ( u^6 ) = 6u^5

Passo 4

Agora, segundo a regra da cadeia, multiplicamos essas duas derivadas:
dgdx = 6u^5 cdot 3x^2
Lembrando que $ u = x^{3} - 3 $, então substituímos de volta:
u = x^3 - 3

Passo 5

Finalmente, vamos simplificar a expressão multiplicando os coeficientes:
dgdx = 18x^2(x^3 - 3)^5

Resposta

A derivada da função é $ \frac{dg}{dx} = 18x{2}(x{3} - 3)^{5} $.

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