Utilize a regra da cadeia para encontrar a derivada das seguintes funções:
b)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a derivada da função $ g(x) = \left(x^{3} - 3\right)^{6} $ usando a regra da cadeia. Isso está dentro da matéria de Cálculo, especificamente nas derivadas. Para resolver, vamos precisar entender como a regra da cadeia funciona, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem a função composta. Aqui, temos uma função externa e uma função interna:
- Função externa: $ u^{6} $, onde $ u = x^{3} - 3 $
- Função interna: $ x^{3} - 3 $
A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta $ f(g(x)) $ é $ f’(g(x)) \cdot g’(x) $.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função. Primeiro, derivamos a função externa em relação a $ u $:
Agora, derivamos a função interna em relação a $ x $:
Passo 4
Agora, segundo a regra da cadeia, multiplicamos essas duas derivadas:
Lembrando que $ u = x^{3} - 3 $, então substituímos de volta:
Passo 5
Finalmente, vamos simplificar a expressão multiplicando os coeficientes:
Resposta
A derivada da função é $ \frac{dg}{dx} = 18x{2}(x{3} - 3)^{5} $.