Verifique se os seguintes limites existem:
lim x 0^+ xa|bx|

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa verificar se o limite abaixo existe:
limx 0^+ xa|bx|
Aqui estamos trabalhando com limites e funções que envolvem valor absoluto. Para resolver isso, vamos precisar entender como o valor absoluto funciona e como simplificar expressões envolvendo frações.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. A gente tem:
xa|bx|
O valor absoluto |bx| significa que sempre vai ser positivo, independentemente do sinal de b e x. Então, podemos reescrever isso como:
xa times |b||x|

Passo 3

Agora, vamos olhar para os termos x|x|. Como x está se aproximando de 0 pela direita ( 0^+), isso significa que x é positivo. Então, |x| = x. Portanto, a expressão fica:
xa times |b|x = |b|a
Veja que os x se cancelam.

Passo 4

Agora que simplificamos a expressão para |b|a, percebemos que não há mais x nela. Isso significa que, conforme x se aproxima de 0 pela direita, a expressão permanece constante.

Resposta

O limite existe e é igual a |b|a.

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