Utilize a regra da cadeia para encontrar a derivada das seguintes funções:
i) r(x)=f(g(h(x))), f, g e h diferenciáveis

Passo 1

O enunciado pede a derivada de uma composição tripla r(x)=fl(gl(h(x)r)r). O conteúdo principal é a regra da cadeia, e precisaremos das derivadas f', g' e h' para aplicar essa regra.

Passo 2

A regra da cadeia diz que, se R(x)=F(U(x)), então R'(x)=F'(U(x))cdot U'(x). Aqui temos uma composição em cascata, mas o princípio é o mesmo: derivar a função externa e multiplicar pela derivada da função interna.

Passo 3

Para organizar melhor, definimos duas funções auxiliares: u(x)=gl(h(x)r) e v(x)=h(x). Então
r(x)=fl(u(x)r),
e aplicando a regra da cadeia:
r'(x)=f'l(u(x)r)cdot u'(x)

Passo 4

Como u(x)=g(v(x)), aplicamos novamente a cadeia:
u'(x)=g'l(v(x)r)cdot v'(x)

Passo 5

E finalmente v'(x)=h'(x). Juntando tudo, temos
r'(x)=f'l(g(h(x))r)cdot g'l(h(x)r)cdot h'(x)

Resposta

r'(x)=f'l(g(h(x))r)cdot g'l(h(x)r)cdot h'(x).

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