Utilize a regra da cadeia para encontrar a derivada das seguintes funções:
c)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a regra da cadeia para encontrar a derivada da função $ h(t) = e^{2 t^{2} + 1} $. A regra da cadeia é útil quando a gente tem uma função composta, ou seja, uma função dentro da outra. Aqui, a gente tem a função exponencial envolvendo outra expressão dentro do expoente. Então, vamos precisar entender como aplicar essa regra para chegar na derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos precisar derivar usando a regra da cadeia. A função está na forma $ h(t) = e^{u(t)} $, onde $ u(t) = 2 t^{2} + 1 $. Então, temos uma função externa $ e^{u} $ e uma função interna $ u(t) $.
Passo 3
A regra da cadeia diz que a derivada de $ h(t) = e^{u(t)} $ é $ h’(t) = e^{u(t)} \cdot u’(t) $. Ou seja, a gente deriva a função externa mantendo a interna igual e multiplica pela derivada da interna.
Passo 4
Vamos calcular a derivada da função interna $ u(t) = 2 t^{2} + 1 $. Derivando termo a termo:
Passo 5
Agora, aplicando a regra da cadeia:
Resposta
A derivada da função é $ h’(t) = 4 t , e^{2 t^{2} + 1} $.