Utilize a regra da cadeia para encontrar a derivada das seguintes funções:
c) h(t)=e^2 t^2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a regra da cadeia para encontrar a derivada da função $ h(t) = e^{2 t^{2} + 1} $. A regra da cadeia é útil quando a gente tem uma função composta, ou seja, uma função dentro da outra. Aqui, a gente tem a função exponencial envolvendo outra expressão dentro do expoente. Então, vamos precisar entender como aplicar essa regra para chegar na derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos precisar derivar usando a regra da cadeia. A função está na forma $ h(t) = e^{u(t)} $, onde $ u(t) = 2 t^{2} + 1 $. Então, temos uma função externa $ e^{u} $ e uma função interna $ u(t) $.

Passo 3

A regra da cadeia diz que a derivada de $ h(t) = e^{u(t)} $ é $ h’(t) = e^{u(t)} \cdot u’(t) $. Ou seja, a gente deriva a função externa mantendo a interna igual e multiplica pela derivada da interna.

Passo 4

Vamos calcular a derivada da função interna $ u(t) = 2 t^{2} + 1 $. Derivando termo a termo:
u(t) = 2 t^2 + 1

Passo 5

Agora, aplicando a regra da cadeia:
h'(t) = e^u(t) cdot u'(t) = e^2 t^2 + 1 cdot 4 t

Resposta

A derivada da função é $ h’(t) = 4 t , e^{2 t^{2} + 1} $.

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