Aproxime as somas abaixo com erro menor do que 5 times 10^-6 :
sumn=1^+infty(-1)^n 1n!

Passo 1

O enunciado pede a aproximação da série alternante
sumn=1^infty(-1)^n1n!
com erro menor que 5times10^-6.
O conteúdo envolvido é o critério de convergência e a estimativa de erro para séries alternantes cujos termos tfrac1n! são positivos, monótonos decrescentes e tendem a zero.

Passo 2

Pelo Teorema da Série Alternante (Leibniz), se an=1/n! é decrescente e limntoinftyan=0, então o erro ao truncar na ordem N satisfaz
l|RNr| = l|sumn=N+1^infty(-1)^nanr| <= aN+1 = 1(N+1)!

Passo 3

Escolhemos N mínimo tal que
1(N+1)!<= 5times10^-6
Testando valores:
tfrac18!approx2,48times10^-5>5times10^-6
tfrac19!approx2,76times10^-6<5times10^-6.
Logo N=8 garante erro <=1/9!approx2,76times10^-6.

Passo 4

Calculamos a soma parcial
S8=sumn=1^8(-1)^n1n!
Numericamente:
S8&=-1+tfrac12-tfrac16+tfrac124-tfrac1120+tfrac1720-tfrac15040+tfrac140320 &approx -0,6321180556

Passo 5

Como l|S-S8r|<=1/9!approx2,76times10^-6<5times10^-6, S8 já atinge a precisão exigida.

Resposta

sumn=1^infty(-1)^n1n!approx -0,6321180556 com erro menor que 5times10^-6

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