Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} a função definida por f(0,0)=0, f(x, y)=\frac{x^{2} y^{2}}{x^{4}+y^{4}} se (x, y) \neq ( 0,0 ). Mostre que: (i) as derivadas parciais de f existem em todo ponto (inclusive em ( 0,0 )); (ii) f não é diferenciável em ( 0,0 ); (iii) f é diferenciável em ( x, y ) para todo (x, y) \neq(0,0). (Sugestão para (ii): mostre que f não é contínua em ( 0,0 ).)

Passo 1

O enunciado nos dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por
f(0,0)=0,\qquad f(x,y)=\frac{x^{2}y^{2}}{x^{4}+y^{4}}\\ \text{ se }\\ (x,y)\neq(0,0).
O que nos pedem:
  • (i) Mostrar que as derivadas parciais de f existem em todo ponto da reta do plano, inclusive em (0,0).
  • (ii) Mostrar que f não é diferenciável em (0,0). (Dica do enunciado: mostre que f não é contínua em (0,0).)
  • (iii) Mostrar que f é diferenciável em todo (x,y)\neq(0,0).
Informações relevantes dadas:
  • Fórmula de f para (x,y)\neq(0,0): numerador N(x,y)=x^2y^2 e denominador D(x,y)=x^4+y^4.
  • Observação importante: para (x,y)\neq(0,0) tem-se D(x,y)>0 (pois soma de potências pares não nulas), logo a expressão é bem definida e suave fora da origem.

Passo 2

Recordando a definição e ferramentas que usarei (explicação didática curta e concreta):
  • Definição de derivada parcial em relação a x no ponto (a,b): é o limite
\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h},
quando existir. Analogamente para \partial f/\partial y.
Isso significa: para a derivada parcial em x eu mexo só em x (troco x por x+h) e mantenho y fixo.
  • Se uma função é quociente de funções polinomiais e o denominador é diferente de zero numa vizinhança de um ponto, então é diferenciável (na verdade C^\infty) nessa vizinhança. Em particular, se conseguimos expressar as razão de polinômios com denominador positivo, as derivadas parciais existem e são dadas pelas fórmulas obtidas pelo quociente (regra do quociente).
  • Se uma função não é contínua num ponto, então não pode ser diferenciável nesse ponto. Portanto para (ii) basta mostrar que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe (ou é diferente de f(0,0)=0).

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais no ponto (0,0) por definição (passo a passo).
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0). Pela definição,
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}.
Mas para h\neq0 temos f(h,0)=\dfrac{h^{2}\cdot 0^{2}}{h^{4}+0}=0. Logo o quociente é \dfrac{0-0}{h}=0 para todo h\neq0. Assim o limite é
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0.
Explicando devagar: ao variar x e manter y=0 a função é identicamente zero, então a taxa de variação direcional em x na origem é zero.
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0). Mesma ideia:
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}.
Como f(0,k)=\dfrac{0\cdot k^{2}}{0+k^{4}}=0 para k\neq0, temos o quociente igual a 0 e o limite dá
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.
Portanto as derivadas parciais em (0,0) existem e valem 0.

Passo 4

Cálculo das derivadas parciais para (x,y)\neq(0,0) usando a regra do quociente (passo a passo e explicando cada termo).
  • Escrevendo f(x,y)=\dfrac{N(x,y)}{D(x,y)} com N(x,y)=x^{2}y^{2} e D(x,y)=x^{4}+y^{4}.
  • Regra do quociente (em duas variáveis aplicada mantendo a outra coordenada fixa): para derivar em x,
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{N}{D}\right)=\frac{N_x D - N D_x}{D^{2}},
onde N_x=\dfrac{\partial N}{\partial x} e D_x=\dfrac{\partial D}{\partial x}.
  • Calcular N_x e D_x:
N_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y^{2})=2x\,y^{2}, \qquad D_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(x^{4}+y^{4})=4x^{3}.
  • Substituir na fórmula:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\frac{(2x y^{2})(x^{4}+y^{4})-(x^{2}y^{2})(4x^{3})}{(x^{4}+y^{4})^{2}}.
Agora simplificar o numerador cuidadosamente:
(2x y^{2})(x^{4}+y^{4}) - 4x^{5}y^{2} =2x^{5}y^{2}+2x y^{6}-4x^{5}y^{2} =-2x^{5}y^{2}+2x y^{6} =2x y^{2}(y^{4}-x^{4}).
Portanto, para (x,y)\neq(0,0),
\boxed{\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{2x y^{2}(y^{4}-x^{4})}{(x^{4}+y^{4})^{2}}.}
  • De modo totalmente análogo, derivando em relação a y (ou trocando x e y na expressão anterior) obtemos
\boxed{\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{2y x^{2}(x^{4}-y^{4})}{(x^{4}+y^{4})^{2}}}
para (x,y)\neq(0,0).
Comentário didático: estas expressões são bem definidas para todo (x,y)\neq(0,0) porque o denominador (x^{4}+y^{4})^{2}>0. Assim as derivadas parciais existem para todos os pontos do plano — vimos explicitamente nas fórmulas e nas derivadas na origem.

Passo 5

Conclusão parcial sobre (i): juntando Passo 3 e Passo 4, concluímos que as derivadas parciais existem em todo ponto de \mathbb{R}^{2}. Em particular:
  • \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0, \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.
  • Para (x,y)\neq(0,0) as fórmulas explícitas são as caixas do Passo 4.

Passo 6

Mostrar que f não é contínua em (0,0) (e assim não diferenciável) — usar aproximações por caminhos diferentes.
  • Primeiro caminho: considerar a reta y=0. Para todo x (com x\neq0) tem-se f(x,0)=0. Assim ao aproximar a origem por pontos (x,0) obtemos
\lim_{x\to0} f(x,0)=0.
  • Segundo caminho: considerar a diagonal y=x. Para x\neq0,
f(x,x)=\frac{x^{2}x^{2}}{x^{4}+x^{4}}=\frac{x^{4}}{2x^{4}}=\frac{1}{2}.
Portanto ao aproximar a origem por pontos (x,x) (com x\to0) obtemos
\lim_{x\to0} f(x,x)=\frac{1}{2}.
  • Como os dois limites ao longo de caminhos diferentes dão valores distintos ( 0 e 1/2), o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe. Em particular f não é contínua em (0,0).
  • Consequência imediata: toda função diferenciável em um ponto é contínua nesse ponto. Portanto, se f não é contínua em (0,0), ela também não pode ser diferenciável em (0,0).
Isso responde (ii): f não é diferenciável em (0,0).

Passo 7

Mostrar que f é diferenciável em todo (x,y)\neq(0,0) (explicação didática e justificativa teórica).
  • Observação: para (x,y)\neq(0,0) o denominador x^{4}+y^{4} é estritamente positivo, logo f é a razão de duas funções polinomiais com denominador não nulo em uma vizinhança de qualquer ponto não nulo. Polinômios são C^\infty (infinitamente diferenciáveis). A razão de duas funções C^\infty cujo denominador não se anula numa vizinhança é também C^\infty nessa vizinhança.
  • Consequentemente, para cada (x_0,y_0)\neq(0,0) existe uma vizinhança onde f é C^\infty, logo é diferenciável em (x_0,y_0).
  • Alternativamente, nota-se que as derivadas parciais encontradas no Passo 4 são funções racionais cujos denominadores não se anulam em (x_0,y_0); logo essas derivadas parciais são contínuas numa vizinhança de (x_0,y_0). Pelo teorema padrão (se todas as derivadas parciais existem numa vizinhança e são contínuas num ponto, então a função é diferenciável naquele ponto) concluímos que f é diferenciável em (x_0,y_0).
  • Em palavras mais amigáveis: fora da origem a função é formada por operações algébricas bem comportadas (multiplicação e divisão por algo não nulo), então não tem “problema” e é diferenciável.

Passo 8

Recapitulando e destacando resultados importantes para decorar para prova (modo amigo e direto):
  • Derivadas parciais em (0,0): \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0,\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.
  • Fórmulas válidas para (x,y)\neq(0,0):
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{2x y^{2}(y^{4}-x^{4})}{(x^{4}+y^{4})^{2}},\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{2y x^{2}(x^{4}-y^{4})}{(x^{4}+y^{4})^{2}}.
  • f não é contínua em (0,0) (exemplos de caminhos: y=0 dá limite 0; y=x dá limite 1/2), portanto f não é diferenciável em (0,0).
  • Para (x,y)\neq(0,0) a função é C^\infty (portanto diferenciável) porque é quociente de polinômios com denominador não nulo.

Resposta

(i) As derivadas parciais existem em todo ponto; em particular \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0,\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0 e, para (x,y)\neq(0,0),
\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\dfrac{2x y^{2}(y^{4}-x^{4})}{(x^{4}+y^{4})^{2}}, \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\dfrac{2y x^{2}(x^{4}-y^{4})}{(x^{4}+y^{4})^{2}}.
(ii) f não é diferenciável em (0,0) (porque f não é contínua em (0,0): por exemplo \lim_{t\to0}f(t,0)=0 e \lim_{t\to0}f(t,t)=\tfrac{1}{2}).
(iii) f é diferenciável em todo (x,y)\neq(0,0) C^\infty fora da origem).

Exercícios relacionados