Seja
a função definida por
se
( 0,0 ). Mostre que: (i) as derivadas parciais de
existem em todo ponto (inclusive em ( 0,0 )); (ii)
não é diferenciável em ( 0,0 ); (iii)
é diferenciável em (
) para todo
. (Sugestão para (ii): mostre que
não é contínua em ( 0,0 ).)
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida por
O que nos pedem:
- (i) Mostrar que as derivadas parciais de
existem em todo ponto da reta do plano, inclusive em . - (ii) Mostrar que
não é diferenciável em . (Dica do enunciado: mostre que não é contínua em .) - (iii) Mostrar que
é diferenciável em todo .
Informações relevantes dadas:
- Fórmula de
para : numerador e denominador . - Observação importante: para
tem-se (pois soma de potências pares não nulas), logo a expressão é bem definida e suave fora da origem.
Passo 2
Recordando a definição e ferramentas que usarei (explicação didática curta e concreta):
- Definição de derivada parcial em relação a
no ponto : é o limite
quando existir. Analogamente para
.
Isso significa: para a derivada parcial em eu mexo só em
(troco
por
) e mantenho
fixo.
Isso significa: para a derivada parcial em
- Se uma função é quociente de funções polinomiais e o denominador é diferente de zero numa vizinhança de um ponto, então é diferenciável (na verdade
) nessa vizinhança. Em particular, se conseguimos expressar as razão de polinômios com denominador positivo, as derivadas parciais existem e são dadas pelas fórmulas obtidas pelo quociente (regra do quociente). - Se uma função não é contínua num ponto, então não pode ser diferenciável nesse ponto. Portanto para (ii) basta mostrar que
não existe (ou é diferente de ).
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais no ponto
por definição (passo a passo).
- Calcular
. Pela definição,
Mas para
temos
. Logo o quociente é
para todo
. Assim o limite é
Explicando devagar: ao variar
e manter
a função é identicamente zero, então a taxa de variação direcional em
na origem é zero.
- Calcular
. Mesma ideia:
Como
para
, temos o quociente igual a
e o limite dá
Portanto as derivadas parciais em
existem e valem
.
Passo 4
Cálculo das derivadas parciais para
usando a regra do quociente (passo a passo e explicando cada termo).
- Escrevendo
com e . - Regra do quociente (em duas variáveis aplicada mantendo a outra coordenada fixa): para derivar em
,
onde
e
.
- Calcular
e :
- Substituir na fórmula:
Agora simplificar o numerador cuidadosamente:
Portanto, para
,
- De modo totalmente análogo, derivando em relação a
(ou trocando e na expressão anterior) obtemos
para
.
Comentário didático: estas expressões são bem definidas para todo
porque o denominador
. Assim as derivadas parciais existem para todos os pontos do plano — vimos explicitamente nas fórmulas e nas derivadas na origem.
Passo 5
Conclusão parcial sobre (i): juntando Passo 3 e Passo 4, concluímos que as derivadas parciais existem em todo ponto de
. Em particular:
-
, . - Para
as fórmulas explícitas são as caixas do Passo 4.
Passo 6
Mostrar que
não é contínua em
(e assim não diferenciável) — usar aproximações por caminhos diferentes.
- Primeiro caminho: considerar a reta
. Para todo (com ) tem-se . Assim ao aproximar a origem por pontos obtemos
- Segundo caminho: considerar a diagonal
. Para ,
Portanto ao aproximar a origem por pontos
(com
) obtemos
- Como os dois limites ao longo de caminhos diferentes dão valores distintos (
e ), o limite não existe. Em particular não é contínua em . - Consequência imediata: toda função diferenciável em um ponto é contínua nesse ponto. Portanto, se
não é contínua em , ela também não pode ser diferenciável em .
Isso responde (ii):
não é diferenciável em
.
Passo 7
Mostrar que
é diferenciável em todo
(explicação didática e justificativa teórica).
- Observação: para
o denominador é estritamente positivo, logo é a razão de duas funções polinomiais com denominador não nulo em uma vizinhança de qualquer ponto não nulo. Polinômios são (infinitamente diferenciáveis). A razão de duas funções cujo denominador não se anula numa vizinhança é também nessa vizinhança. - Consequentemente, para cada
existe uma vizinhança onde é , logo é diferenciável em . - Alternativamente, nota-se que as derivadas parciais encontradas no Passo 4 são funções racionais cujos denominadores não se anulam em
; logo essas derivadas parciais são contínuas numa vizinhança de . Pelo teorema padrão (se todas as derivadas parciais existem numa vizinhança e são contínuas num ponto, então a função é diferenciável naquele ponto) concluímos que é diferenciável em . - Em palavras mais amigáveis: fora da origem a função é formada por operações algébricas bem comportadas (multiplicação e divisão por algo não nulo), então não tem “problema” e é diferenciável.
Passo 8
Recapitulando e destacando resultados importantes para decorar para prova (modo amigo e direto):
- Derivadas parciais em
: . - Fórmulas válidas para
:
-
não é contínua em (exemplos de caminhos: dá limite ; dá limite ), portanto não é diferenciável em . - Para
a função é (portanto diferenciável) porque é quociente de polinômios com denominador não nulo.
Resposta
(i) As derivadas parciais existem em todo ponto; em particular
e, para
,
,
.
(ii) não é diferenciável em
(porque
não é contínua em
: por exemplo
e
).
(iii) é diferenciável em todo
(é
fora da origem).
(ii)
(iii)