Utilize a regra de L‘Hôspital para calcular cada um dos limites.
lim x infty 1-cos (2 / x)tg(3 / x)

Passo 1

O enunciado pede
limxtoinfty1-cos(2/x)tan(3/x)
e sugere usar a regra de L’Hôpital. Note que, ao fazer xtoinfty, temos 2/xto0 e 3/xto0, logo o numerador tende a 1-cos0=0 e o denominador a tan0=0. É uma indeterminação do tipo 0/0, então podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 2

Aplicando L’Hôpital, diferenciamos numerador e denominador em relação a x.
O numerador é N(x)=1-cos(2/x). Como
ddxcos(2/x) = -sin(2/x)cdotddxl(2/xr) = -sin(2/x)cdotl(-tfrac2x^2r) = 2sin(2/x)x^2,
vem
N'(x)=-ddxcos(2/x) =-2sin(2/x)x^2times(-1) =-2sin(2/x)x^2
O denominador é D(x)=tan(3/x). Como
ddxtan(3/x) =sec^2(3/x)cdotddxl(3/xr) =sec^2(3/x)cdotl(-tfrac3x^2r) =-3sec^2(3/x)x^2,
temos
D'(x)=-3sec^2(3/x)x^2

Passo 3

Pela regra de L’Hôpital, o limite original vale o limite do quociente das derivadas:
limxtoinftyN(x)D(x) =limxtoinftyN'(x)D'(x) =limxtoinfty -2sin(2/x)x^2 -3sec^2(3/x)x^2 =limxtoinfty23,sin(2/x)sec^2(3/x)

Passo 4

Para xtoinfty temos 2/xto0 e 3/xto0, então sin(2/x)sim2/x e sec^2(3/x)to1. Assim
23,sin(2/x)sec^2(3/x) sim23,2/x1 =43x longrightarrow0

Resposta

O valor do limite é 0.

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