Utilize a regra de L‘Hôspital para calcular cada um dos limites.
lim x infty sen(7 / x)5 / x

Passo 1

Estamos querendo calcular o limite
limxtoinftysinl(tfrac7xr)tfrac5x
Este é um caso clássico de forma indeterminada 0/0, então vamos usar a regra de L’Hôpital, que manda derivar numerador e denominador até eliminar a indeterminação.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada: quando xtoinfty temos tfrac7xto0, logo sinl(tfrac7xr)to0, e também tfrac5xto0. Então de fato é 0/0 e podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
– Numerador:
ddxl[sinl(tfrac7xr)r] =cosl(tfrac7xr)cdotddxl(tfrac7xr) =cosl(tfrac7xr)cdotl(-tfrac7x^2r)
– Denominador:
ddxl[tfrac5xr] =-tfrac5x^2
Portanto pelo teorema de L’Hôpital o limite passa a ser
limxtoinfty -tfrac7x^2cosl(tfrac7xr)-tfrac5x^2 =limxtoinfty75cosl(tfrac7xr)

Passo 4

Agora basta avaliar limxtoinftycosl(tfrac7xr). Como tfrac7xto0, temos cosl(tfrac7xr)tocos(0)=1. Logo o limite total é
75cdot1=75

Resposta

75

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