Utilize a regra de L‘Hôspital para calcular cada um dos limites.
lim x pi / 2 ln (sen x)(pi-2 x)^2

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto pi/2ln(sin x)(pi-2x)^2
usando a regra de L’Hôpital. Esse conteúdo envolve identificar formas indeterminadas do tipo tfrac00 e usar derivadas de funções compostas.

Passo 2

Verificando a forma indeterminada, para xto pi/2 temos sin xto1 e, portanto, ln(sin x)to0. Ao mesmo tempo pi-2xto0 e (pi-2x)^2to0. Logo a expressão é tfrac00, o que autoriza o uso da regra de L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital pela primeira vez, derivamos numerador e denominador:
ddx[ln(sin x)] = cot x, ddx[(pi - 2x)^2] = -4(pi - 2x)
Assim o limite passa a ser
limxto pi/2ln(sin x)(pi-2x)^2 = limxto pi/2cot x-4(pi - 2x)

Passo 4

Ainda temos forma tfrac00, pois cot xto0 e pi-2xto0. Aplicando L’Hôpital de novo:
ddx[cot x] = -csc^2 x, ddx[-4(pi -2x)] = 8
Portanto
limxto pi/2cot x-4(pi -2x) = limxto pi/2-csc^2 x8 = -18

Resposta

-18

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