Utilize a regra de L‘Hôspital para calcular cada um dos limites.
lim t 0 e^t-e^-t-2 sen t4 t^3

Passo 1

O enunciado pede calcular
limtto0e^t-e^-t-2sin t4t^3.
Note que, ao substituir t=0, numerador e denominador vão a zero, ou seja, temos a forma indeterminada tfrac00. Nesse caso, a gente aplica a regra de L’Hôpital, que permite derivar numerador e denominador até eliminar a indeterminação.

Passo 2

Primeira derivação:
o numerador f(t)=e^t-e^-t-2sin t fica
f'(t)=e^t+e^-t-2cos t,
e o denominador g(t)=4t^3 vira
g'(t)=12t^2
Em t=0: f'(0)=1+1-2=0 e g'(0)=0. Continua tfrac00, então derivamos de novo.

Passo 3

Segunda derivação:
f''(t)=e^t-e^-t+2sin t, g''(t)=24t
Em t=0: f''(0)=1-1+0=0 e g''(0)=0. Ainda tfrac00, partimos para a terceira derivada.

Passo 4

Terceira derivação:
f'''(t)=e^t+e^-t+2cos t, g'''(t)=24
Em t=0: f'''(0)=1+1+2=4 e g'''(0)=24. Logo, pela regra de L’Hôpital repetida,
limtto0e^t-e^-t-2sin t4t^3 =f'''(0)g'''(0) =424 =16

Resposta

16

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