Utilize a regra de L‘Hôspital para calcular cada um dos limites.
lim x 1 ln x-sen(x-1)(x-1)^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto1ln x - sin(x-1)(x-1)^2
usando a regra de L’Hôpital. Note que ao xto1 temos numerador ln1-sin0=0 e denominador (1-1)^2=0, ou seja, indeterminação tfrac00. Podemos então aplicar L’Hôpital.

Passo 2

Derivamos numerador e denominador uma vez:
Derivada do numerador:
ddxl[ln x - sin(x-1)r] = 1x - cos(x-1)
Derivada do denominador:
ddxl[(x-1)^2r] = 2(x-1)
O limite vira
limxto11x - cos(x-1)2(x-1)
Ainda é tfrac00, pois em x=1 o numerador é 1-1=0 e o denominador é 0.

Passo 3

Aplicamos L’Hôpital pela segunda vez. Derivando de novo:
Derivada do numerador:
ddxl[1x - cos(x-1)r] = -1x^2 + sin(x-1)
Derivada do denominador:
ddxl[2(x-1)r] = 2
Agora o limite é
limxto1-1x^2 + sin(x-1)2

Passo 4

Substituindo x=1 no quociente das segundas derivadas temos
-11^2 + sin0 = -1 + 0 = -1,
logo o valor do limite é
-12 = -12

Resposta

-tfrac12

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