(4) Utilize a regra do produto para derivar:
f(x)=x^2 cdot e^x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função f(x)=x^{2}\cdot e^{x} usando a regra do produto. O conteúdo aqui é derivação de produto de funções e vamos precisar da definição da regra do produto e das derivadas de x^{2} e e^{x}.

Passo 2

A regra do produto diz que, se temos f(x)=u(x)\cdot v(x), então a derivada é f’(x)=u’(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v’(x). No nosso caso, escolhemos u(x)=x^{2} e v(x)=e^{x}.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais: derivando u(x)=x^{2} temos u’(x)=2x; derivando v(x)=e^{x} temos v’(x)=e^{x}, pois a derivada do exponencial é ele mesmo.

Passo 4

Substituindo na regra do produto obtenemos f’(x)=2x\cdot e{x}+x{2}\cdot e^{x}.

Passo 5

Por fim, podemos fatorar o fator comum e^{x} para simplificar: f’(x)=e{x}(2x+x{2}), que também pode ser escrita como f’(x)=x,e^{x}(x+2).

Resposta

f'(x)=e^x(x^2+2x)

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