(4) Utilize a regra do produto para derivar:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função f(x)=x^{2}\cdot e^{x} usando a regra do produto. O conteúdo aqui é derivação de produto de funções e vamos precisar da definição da regra do produto e das derivadas de x^{2} e e^{x}.
Passo 2
A regra do produto diz que, se temos f(x)=u(x)\cdot v(x), então a derivada é f’(x)=u’(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v’(x). No nosso caso, escolhemos u(x)=x^{2} e v(x)=e^{x}.
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais: derivando u(x)=x^{2} temos u’(x)=2x; derivando v(x)=e^{x} temos v’(x)=e^{x}, pois a derivada do exponencial é ele mesmo.
Passo 4
Substituindo na regra do produto obtenemos f’(x)=2x\cdot e{x}+x{2}\cdot e^{x}.
Passo 5
Por fim, podemos fatorar o fator comum e^{x} para simplificar: f’(x)=e{x}(2x+x{2}), que também pode ser escrita como f’(x)=x,e^{x}(x+2).