Utilize as regras básicas de integração para resolver a integral indefinida e verifique o resultado por diferenciação.
f) integral x^3-1x-1 d x

Passo 1

Aqui a gente quer calcular a integral indefinida de
x^3-1x-1 usando regras básicas de integração, ou seja: primeiro simplificar a expressão racional fazendo divisão de polinômios e depois aplicar a regra de potência integral x^n dx = x^n+1n+1.

Passo 2

Para simplificar o integrando, dividimos o polinômio:\
x^3 - 1x - 1 = x^2 + x + 1
Isso vem da divisão de x^3-1 por x-1, sem resto.

Passo 3

Agora integramos termo a termo usando a regra de potência. Temos:
integral(x^2 + x + 1),dx = integral x^2,dx + integral x,dx + integral 1,dx
Aplicando integral x^n dx = x^n+1n+1:
integral x^2,dx = x^33, integral x,dx = x^22, integral 1,dx = x

Passo 4

Somando tudo e acrescentando a constante de integração C, obtemos:
x^33 + x^22 + x + C

Passo 5

Para verificar, basta diferenciar o resultado:
ddxl(x^33 + x^22 + x + Cr) = x^2 + x + 1
E como x^2 + x + 1 = x^3 - 1x - 1 (para x neq 1), conferimos que deu certinho.

Resposta

x^33 + x^22 + x + C

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