Utilize as regras de derivação para calcular a derivada de primeira ordem:
y=ln (5 x^3-4 x^2)

Passo 1

Então, vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. A função que precisamos derivar é . Isso envolve logaritmos e potências de . Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia da derivação, que é útil quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função.

Passo 2

A regra da cadeia nos diz que, para derivar uma função composta , onde é uma função de , a derivada será multiplicada pela derivada de . Ou seja, se , então . Neste caso, nossa é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de u' = ddx(5x^3) - ddx(4x^2) = 5 cdot 3x^2 - 4 cdot 2x = 15x^2 - 8x . Usamos a regra do poder aqui, que diz que a derivada de é . Então:

Passo 4

Finalmente, aplicamos a regra da cadeia substituindo y' = u'u = 15x^2 - 8x5x^3 - 4x^2 e y' = x(15x - 8)x^2(5x - 4) = 15x - 8x(5x - 4) na expressão da derivada:
Podemos simplificar um pouco mais, fatorando o numerador e o denominador:

Resposta

A derivada de y' = 15x - 8x(5x - 4) é:

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