(1,5) Utilize as regras de derivação para encontrar as derivadas da função f(x)=raizx3 x^3-4 x+2.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=raizx3x^3-4x+2
O conteúdo aqui é aplicação da regra do quociente
gl(uvgr)'=u'v-uv'v^2
e da derivada de potência fracionária ( raizx=x^1/2).

Passo 2

Definimos
u(x)=x^1/2, v(x)=3x^3-4x+2
Calculamos as derivadas:
u'(x)=tfrac12x^-1/2=12raizx,
v'(x)=9x^2-4

Passo 3

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 =12raizx,(3x^3-4x+2);-;raizx,(9x^2-4)(3x^3-4x+2)^2

Passo 4

Para simplificar o numerador, escrevemos ambos termos com denominador comum 2raizx:
3x^3-4x+22raizx -2x,(9x^2-4)2raizx =3x^3-4x+2-18x^3+8x2raizx =-15x^3+4x+22raizx
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f'(x) =-15x^3+4x+22raizx,(3x^3-4x+2)^2

Resposta

f'(x)=-15x^3+4x+22raizx,(3x^3-4x+2)^2

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