Utilize as regras de derivação estudadas para determinar a derivada de
, para cada uma das seguintes funções.
. Determine também
.
Passo 1
Nesse exercício temos a função f definida por f(x)=7x4+πx2+9−x^(−5). O conteúdo é derivação de funções polinomiais (e potência negativa), e vamos precisar usar a regra do poder, a regra da constante e a regra do fator constante.
Passo 2
Para derivar, lembramos que (d/dx)x^n = n x^(n−1), que constantes somadas dão derivada zero e que podemos derivar termo a termo. Aplicando em cada parcela:
Derivada de 7x^4:
Derivada de 7x^4:
Derivada de πx^2:
Derivada de 9:
Derivada de −x^(−5):
Passo 3
Agora somamos tudo para obter f’(x):
Passo 4
Para calcular f’(1/2), substituímos x=1/2:
Passo 5
Calculando cada termo:
Passo 6
Somando:
Resposta
f’(x)=28x^3+2\pi x+5x^{-6},\quad f’(1/2)=\tfrac{647}{2}+\pi