Utilize as regras de derivação estudadas para determinar a derivada de f, f^prime, para cada uma das seguintes funções.
f(x)=7 x^4+pi x^2+9-1x^5. Determine também f^prime(1 / 2).

Passo 1

Nesse exercício temos a função f definida por f(x)=7x4+πx2+9−x^(−5). O conteúdo é derivação de funções polinomiais (e potência negativa), e vamos precisar usar a regra do poder, a regra da constante e a regra do fator constante.

Passo 2

Para derivar, lembramos que (d/dx)x^n = n x^(n−1), que constantes somadas dão derivada zero e que podemos derivar termo a termo. Aplicando em cada parcela:
Derivada de 7x^4:
ddx[7x^4]=7cdot4x^3=28x^3
Derivada de πx^2:
ddx[pi x^2]=picdot2x=2pi x
Derivada de 9:
ddx[9]=0
Derivada de −x^(−5):
ddx[-x^-5]=-(-5)x^-6=5x^-6

Passo 3

Agora somamos tudo para obter f’(x):
f'(x)=28x^3+2pi x+5x^-6

Passo 4

Para calcular f’(1/2), substituímos x=1/2:
f'l(tfrac12r)=28l(tfrac12r)^3+2pil(tfrac12r)+5l(tfrac12r)^-6

Passo 5

Calculando cada termo:
28cdottfrac18=tfrac288=tfrac72,2picdottfrac12=pi,(tfrac12)^-6=64Rightarrow5cdot64=320

Passo 6

Somando:
f'l(tfrac12r)=tfrac72+pi+320=tfrac6472+pi

Resposta

f’(x)=28x^3+2\pi x+5x^{-6},\quad f’(1/2)=\tfrac{647}{2}+\pi

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