(EPCAR 1983) O número que expressa a medida da diagonal de um quadrado é a raiz da equação 2 raiz5 x-1-3 raiz3 x-2=0. A área desse quadrado será equivalente a :
A) 0,49
B) 0,64
C) 0,81
D) 2
E) 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a área de um quadrado sabendo que a medida da diagonal desse quadrado é a solução da equação 2 raiz5x -1 - 3 raiz3x -2 = 0. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra para resolver a equação e depois geometria para encontrar a área do quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação 2 raiz5x -1 - 3 raiz3x -2 = 0. Vamos isolar uma das raízes:
2 raiz5x -1 = 3 raiz3x -2

Passo 3

Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
(2 raiz5x -1)^2 = (3 raiz3x -2)^2
4(5x -1) = 9(3x -2)

Passo 4

Vamos expandir os parênteses:
20x -4 = 27x -18

Passo 5

Agora, vamos reunir os termos com x de um lado e os números do outro:
20x - 27x = -18 +4
-7x = -14

Passo 6

Para encontrar x, dividimos ambos os lados por -7:
x = -14-7
x = 2

Passo 7

Com x = 2, vamos encontrar a medida da diagonal substituindo na expressão original:
2 raiz5(2) -1 - 3 raiz3(2) -2 = 0
2 raiz10 -1 - 3 raiz6 -2 = 0
2 raiz9 - 3 raiz4 = 0
2 times 3 - 3 times 2 = 0
6 -6 =0
Isso confirma que x = 2 é a solução correta.

Passo 8

Agora, sabemos que a diagonal do quadrado é a solução da equação, ou seja, raiz2. Mas vamos confirmar:
A diagonal d de um quadrado está relacionada ao lado L pela fórmula:
d = L raiz2
Queremos encontrar a área A do quadrado, que é:
A = L^2

Passo 9

Vamos expressar L em termos de d:
L = draiz2
Então, a área fica:
A = (draiz2)^2 = d^22

Passo 10

Mas precisamos do valor de d. Pelo passo anterior, vimos que a diagonal é:
d = raiz2
Portanto:
A = (raiz2)^22 = 22 = 1

Passo 11

No entanto, observando as opções, parece que houve um erro na interpretação. Na verdade, a solução encontrada para a equação era x = 2, que dá a medida da diagonal como:
d = raiz2
A área do quadrado é:
A = (raiz2raiz2)^2 = 1
Mas nenhuma das opções é 1. Pode ser que a diagonal seja representada como x = 2, então:
d = 2
Então:
A = 2^22 = 42 = 2

Resposta

A área do quadrado é 2. A alternativa correta é a D).

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