Utilize as relações imediatas para calcular as seguintes integrais indefinidas:
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver umas integrais indefinidas aqui! O que a gente tem na questão são quatro integrais diferentes para calcular. Vamos precisar usar as regras básicas de integração, como a regra da potência, integrais de funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas. Bora lá!
Passo 2
Questão a)
Primeiro, vamos identificar que essa integral é um polinômio. A regra que vamos usar aqui é a regra da potência, que diz que
, onde
é a constante de integração.
Aplicando essa regra termo a termo:
-
Integral de
: -
Integral de
: -
Integral de
: -
Integral de
: -
Integral de
:
Agora, juntando tudo:
Passo 3
Questão b)
Aqui temos funções trigonométricas. Vamos identificar partes que conhecemos integrais padrão.
-
Integral de
:
Sabemos que. Portanto: -
Integral de
:
Note que. Então: A integral deé . Assim:
Juntando os dois resultados:
Passo 4
Questão c)
Vamos dividir essa integral em partes e integrar cada uma separadamente.
-
Integral de
: -
Integral de
:
Observe que. Porém, é mais fácil pensar que: Mas aqui temos apenas, que é igual a . Então: -
Integral de
:
Podemos reescrevercomo . Aplicando a regra da potência:
Juntando tudo:
Passo 5
Questão d)
Vamos simplificar a expressão antes de integrar.
Primeiro, separamos a fração:
Agora, vamos lembrar que:
Então:
E
permanece.
Portanto, a integral fica:
Vamos integrar cada termo separadamente.
-
Integral de
: Fazendo uma substituição:Seja, então . A integral se torna: -
Integral de
:
Juntando os resultados:
Resposta
As integrais indefinidas são:
a)
b)
c)
d)