Utilize as relações imediatas para calcular as seguintes integrais indefinidas:
(a) integral(5 x^4+-8 x^3+9 x^2-2 x-7) d x
(b) integral(3 sec x tg x-5 cos sec ^2 x) d x
© integral(2 e^x-sen xcos ^2 x+2x^7) d x
(d) integral 2 cotg x-3 sen^2 xsen x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver umas integrais indefinidas aqui! O que a gente tem na questão são quatro integrais diferentes para calcular. Vamos precisar usar as regras básicas de integração, como a regra da potência, integrais de funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas. Bora lá!

Passo 2

Questão a) integral(5 x^4 - 8 x^3 + 9 x^2 - 2 x - 7) , dx

Primeiro, vamos identificar que essa integral é um polinômio. A regra que vamos usar aqui é a regra da potência, que diz que integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração.
Aplicando essa regra termo a termo:
  1. Integral de 5x^4:
    integral 5x^4 , dx = 5 cdot x^55 = x^5
  2. Integral de -8x^3:
    integral -8x^3 , dx = -8 cdot x^44 = -2x^4
  3. Integral de 9x^2:
    integral 9x^2 , dx = 9 cdot x^33 = 3x^3
  4. Integral de -2x:
    integral -2x , dx = -2 cdot x^22 = -x^2
  5. Integral de -7:
    integral -7 , dx = -7x
Agora, juntando tudo:
integral(5 x^4 - 8 x^3 + 9 x^2 - 2 x - 7) , dx = x^5 - 2x^4 + 3x^3 - x^2 - 7x + C

Passo 3

Questão b) integral(3 sec x tan x - 5 cos sec^2 x) , dx

Aqui temos funções trigonométricas. Vamos identificar partes que conhecemos integrais padrão.
  1. Integral de 3 sec x tan x:
    Sabemos que ddx(sec x) = sec x tan x. Portanto:
    integral 3 sec x tan x , dx = 3 sec x
  2. Integral de -5 cos sec^2 x:
    Note que cos x sec^2 x = cos x cdot 1cos^2 x = 1cos x = sec x. Então:
    integral -5 cos sec^2 x , dx = integral -5 sec x , dx
    A integral de sec x é ln |sec x + tan x| + C. Assim:
    integral -5 sec x , dx = -5 ln |sec x + tan x|
Juntando os dois resultados:
integral(3 sec x tan x - 5 cos sec^2 x) , dx = 3 sec x - 5 ln |sec x + tan x| + C

Passo 4

Questão c) integral(2 e^x - sin xcos^2 x + 2x^7) , dx

Vamos dividir essa integral em partes e integrar cada uma separadamente.
  1. Integral de 2 e^x:
    integral 2 e^x , dx = 2 e^x
  2. Integral de -sin xcos^2 x:
    Observe que sin xcos^2 x = sin x cdot sec^2 x. Porém, é mais fácil pensar que:
    ddx ( 1cos x ) = sin xcos^2 x = sec x tan x
    Mas aqui temos apenas sin xcos^2 x, que é igual a sec x tan x. Então:
    integral -sin xcos^2 x , dx = -integral sec x tan x , dx = -sec x
  3. Integral de 2x^7:
    Podemos reescrever 2x^7 como 2x^-7. Aplicando a regra da potência:
    integral 2x^-7 , dx = 2 cdot x^-6-6 = -13 x^-6 = -13 x^6
Juntando tudo:
integral(2 e^x - sin xcos^2 x + 2x^7) , dx = 2 e^x - sec x - 13 x^6 + C

Passo 5

Questão d) integral 2 cot x - 3 sin^2 xsin x , dx

Vamos simplificar a expressão antes de integrar.
Primeiro, separamos a fração:
2 cot x - 3 sin^2 xsin x = 2 cot xsin x - 3 sin^2 xsin x = 2 cot x csc x - 3 sin x
Agora, vamos lembrar que:
  • cot x = cos xsin x
  • csc x = 1sin x
Então:
2 cot x csc x = 2 cdot cos xsin x cdot 1sin x = 2 cos xsin^2 x
E -3 sin x permanece.
Portanto, a integral fica:
integral (2 cos xsin^2 x - 3 sin x ) , dx
Vamos integrar cada termo separadamente.
  1. Integral de 2 cos xsin^2 x:
    Fazendo uma substituição:
    Seja u = sin x, então du = cos x , dx.
    A integral se torna:
    2 integral 1u^2 , du = 2 cdot ( -1u ) = -2sin x = -2 csc x
  2. Integral de -3 sin x:
    integral -3 sin x , dx = 3 cos x
Juntando os resultados:
integral 2 cot x - 3 sin^2 xsin x , dx = -2 csc x + 3 cos x + C

Resposta

As integrais indefinidas são:
a)
integral(5 x^4 - 8 x^3 + 9 x^2 - 2 x - 7) , dx = x^5 - 2x^4 + 3x^3 - x^2 - 7x + C
b)
integral(3 sec x tan x - 5 cos sec^2 x) , dx = 3 sec x - 5 ln |sec x + tan x| + C
c)
integral(2 e^x - sin xcos^2 x + 2x^7) , dx = 2 e^x - sec x - 13 x^6 + C
d)
integral 2 cot x - 3 sin^2 xsin x , dx = -2 csc x + 3 cos x + C

Exercícios relacionados