Calcule as integrais indefinidas abaixo.
(c) integral(e^a x-sen(a x)) d x, a neq 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integrall(e^a x-sen(a x)r),dx, aneq0
Vamos usar a linearidade da integral e as fórmulas básicas de antiderivadas de e^k x e de sen(k x).

Passo 2

Pela linearidade, podemos separar
integrall(e^a x-sen(a x)r),dx =integral e^a x,dx ;-;integral sen(a x),dx

Passo 3

Para integral e^a x,dx, basta lembrar que, com u=ax,
du = a,dx Longrightarrow dx = dua,
então
integral e^a x,dx =integral e^u,dua =1ae^u =1ae^a x

Passo 4

Para integral sen(a x),dx, usamos a fórmula padrão
integral sen(k x),dx = -1kcos(k x)
Aqui k=a, então
integral sen(a x),dx =-1acos(a x)
Como na nossa integral temos menos esse termo, fica
-integral sen(a x),dx =-l(-1acos(a x)r) =1acos(a x)

Passo 5

Somando os resultados dos dois termos e adicionando a constante de integração C, obtemos
integrall(e^a x-sen(a x)r),dx =1ae^a x+1acos(a x)+C

Resposta

integrall(e^a x-sen(a x)r),dx =1ae^a x+1acos(a x)+C

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