Utilize as relações trigonométricas
(i) sen^2 x=1-cos ^2 x,
(ii) sec ^2 x=1+tg^2 x,
(iii) cos ^2 x=1+cos (2 x)2 e
(iv) sen^2 x=1-cos (2 x)2
para calcular as integrais abaixo.
(e) integral sen^2(pi x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral sin^2(pi x),dx. Isso é uma integral de potência de função trigonométrica, e vamos usar a identidade (iv) da lista, que escreve sin^2 em termos de cosseno de ângulo duplo.

Passo 2

Aplicando a identidade sin^2 u = tfrac1-cos(2u)2 com u=pi x, obtemos:
sin^2(pi x)=1-cosl(2cdot(pi x)r)2=1-cos(2pi x)2

Passo 3

Substituindo na integral e integrando termo a termo:
integralsin^2(pi x),dx=integral1-cos(2pi x)2,dx=12integral1,dx-12integralcos(2pi x),dx
A primeira parte dá tfrac12 x. Para a segunda, usamos integralcos(kx),dx=tfrac1ksin(kx):
12integralcos(2pi x),dx=12cdot12pisin(2pi x)=sin(2pi x)4pi
Então a integral completa fica:
x2-sin(2pi x)4pi+C

Resposta

integralsin^2(pi x),dx=x2-sin(2pi x)4pi+C.

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