Utilize resíduos para calcular
(iv) integral-infty^infty e^i xx^2+1 d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral-infty^infty e^ixx^2 + 1 , dx usando o método dos resíduos. Esse tipo de problema está relacionado à análise complexa, especificamente ao cálculo de integrais envolvendo funções racionais e exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender sobre polos de funções complexas e aplicar o teorema dos resíduos.

Passo 2

Primeiro, identifique os polos da função e^ixx^2 + 1. Os polos são os valores de x que tornam o denominador zero. Então, resolvemos x^2 + 1 = 0, o que dá x = i e x = -i. Esses são nossos polos.

Passo 3

Agora, vamos considerar que estamos trabalhando com funções complexas, então x pode ser uma variável complexa z. A integral que queremos resolver passa pela linha real no plano complexo. Para aplicar o método dos resíduos, vamos fechar o caminho da integração com um semicírculo no plano complexo.

Passo 4

Decidimos fechar o caminho no semicírculo superior porque o termo exponencial e^iz deve desaparecer no infinito para que a contribuição do semicírculo não interfira na integral original. Ou seja, escolhemos um caminho que vai da -infty para infty na linha real e fecha com um arco de semicírculo no sentido anti-horário no plano superior.

Passo 5

Segundo o teorema dos resíduos, a integral fechada é igual a 2pi i vezes a soma dos resíduos das funções dentro do caminho fechado. No nosso caso, o único pólo dentro do semicírculo superior é z = i.

Passo 6

Vamos calcular o resíduo da função e^izz^2 + 1 em z = i. Como é um polo simples, o resíduo é dado por:
Res(e^izz^2 + 1, i) = limz to i (z - i)e^izz^2 + 1
Simplificando, temos:
Res = e^i cdot i2i = e^-12i

Passo 7

Aplicando o teorema dos resíduos, a integral fechada é:
2pi i cdot e^-12i = pi e^-1
Além disso, a contribuição do semicírculo tende a zero quando o raio vai ao infinito, então a integral original é igual a essa.

Resposta

integral-infty^infty e^ixx^2 + 1 , dx = pi e^-1

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