Utilize resíduos para calcular
(iv)
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(iv)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando o método dos resíduos. Esse tipo de problema está relacionado à análise complexa, especificamente ao cálculo de integrais envolvendo funções racionais e exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender sobre polos de funções complexas e aplicar o teorema dos resíduos.
Passo 2
Primeiro, identifique os polos da função
. Os polos são os valores de
que tornam o denominador zero. Então, resolvemos
, o que dá
e
. Esses são nossos polos.
Passo 3
Agora, vamos considerar que estamos trabalhando com funções complexas, então
pode ser uma variável complexa
. A integral que queremos resolver passa pela linha real no plano complexo. Para aplicar o método dos resíduos, vamos fechar o caminho da integração com um semicírculo no plano complexo.
Passo 4
Decidimos fechar o caminho no semicírculo superior porque o termo exponencial
deve desaparecer no infinito para que a contribuição do semicírculo não interfira na integral original. Ou seja, escolhemos um caminho que vai da
para
na linha real e fecha com um arco de semicírculo no sentido anti-horário no plano superior.
Passo 5
Segundo o teorema dos resíduos, a integral fechada é igual a
vezes a soma dos resíduos das funções dentro do caminho fechado. No nosso caso, o único pólo dentro do semicírculo superior é
.
Passo 6
Vamos calcular o resíduo da função
em
. Como é um polo simples, o resíduo é dado por:
Simplificando, temos:
Passo 7
Aplicando o teorema dos resíduos, a integral fechada é:
Além disso, a contribuição do semicírculo tende a zero quando o raio vai ao infinito, então a integral original é igual a essa.