Utilize resíduos para calcular
(iii) integral-infty^infty 1(x^2+1)^2 d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral-infty^infty 1(x^2+1)^2 dx usando resíduos. Esse exercício está no campo de Cálculo Complexo, especificamente utilizando o Teorema dos Resíduos. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como identificar e calcular os resíduos das funções complexas e aplicar o teorema para avaliar integrais que vão do menos infinito ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a integral real em uma integral complexa. Para isso, consideramos a função f(z) = 1(z^2 + 1)^2, onde z é um número complexo. A ideia é integrar essa função ao longo de um caminho fechado no plano complexo, que geralmente é um semi-círculo no sentido anti-horário que fecha o eixo real.

Passo 3

Identificamos os polos da função f(z). Os polos são os valores de z que tornam o denominador zero. Temos z^2 + 1 = 0, então z = i e z = -i. Como o denominador está elevado ao quadrado, ambos os polos são de segunda ordem (ou seja, são duplos).

Passo 4

Selecionamos quais desses polos estão dentro do nosso caminho de integração. Geralmente, escolhemos o semi-círculo superior para facilitar os cálculos. Nesse caso, apenas z = i está dentro desse caminho, já que z = -i está na parte inferior.

Passo 5

Calculamos o resíduo de f(z) no polo z = i. Para polos de segunda ordem, o resíduo é dado por:
Res(f, i) = limz to i ddz [(z - i)^2 f(z)]
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da derivada:
Agora, derivamos essa expressão em relação a (z - i)^2 f(z) = (z - i)^2(z^2 + 1)^2 = (z - i)^2(z - i)^2(z + i)^2 = 1(z + i)^2 :
z
Finalmente, avaliamos o limite quando ddz [1(z + i)^2] = -2 1(z + i)^3 :
z to i

Passo 6

Aplicamos o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral fechada é 2pi i vezes a soma dos resíduos dentro do caminho. Como temos apenas um resíduo, temos:
oint f(z) dz = 2pi i (14i) = 2pi i4i = pi2

Resposta

Portanto, integral-infty^infty 1(x^2+1)^2 dx = pi2.

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