Utilize resíduos para calcular
(iii)
;
(iii)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando resíduos. Esse exercício está no campo de Cálculo Complexo, especificamente utilizando o Teorema dos Resíduos. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como identificar e calcular os resíduos das funções complexas e aplicar o teorema para avaliar integrais que vão do menos infinito ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a integral real em uma integral complexa. Para isso, consideramos a função
, onde
é um número complexo. A ideia é integrar essa função ao longo de um caminho fechado no plano complexo, que geralmente é um semi-círculo no sentido anti-horário que fecha o eixo real.
Passo 3
Identificamos os polos da função
. Os polos são os valores de
que tornam o denominador zero. Temos
, então
e
. Como o denominador está elevado ao quadrado, ambos os polos são de segunda ordem (ou seja, são duplos).
Passo 4
Selecionamos quais desses polos estão dentro do nosso caminho de integração. Geralmente, escolhemos o semi-círculo superior para facilitar os cálculos. Nesse caso, apenas
está dentro desse caminho, já que
está na parte inferior.
Passo 5
Calculamos o resíduo de
no polo
. Para polos de segunda ordem, o resíduo é dado por:
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da derivada:
Agora, derivamos essa expressão em relação a
:
Finalmente, avaliamos o limite quando
:
Passo 6
Aplicamos o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral fechada é
vezes a soma dos resíduos dentro do caminho. Como temos apenas um resíduo, temos:
Resposta
Portanto,
.