Utilize resíduos para calcular
(i)
;
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a integral
usando o método de resíduos. Isso faz parte da matéria de Cálculo Complexo, especificamente utilizando a Teoria dos Resíduos para avaliar integrais que vão de menos infinito a mais infinito. Vamos precisar identificar os polos da função, calcular os resíduos e aplicar o teorema de resíduos para chegar à resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a integral que estamos lidando. A função que vamos integrar é
. Para usar a Teoria dos Resíduos, precisamos estender essa função para o plano complexo, ou seja, considerar
no lugar de
. Assim, nossa função se torna
.
Passo 3
Agora, vamos identificar os polos dessa função. Polos são os pontos onde a função fica “infinita”, ou seja, onde o denominador é zero. Resolvendo
e
, encontramos os polos:
-
e de -
e de
Esses pontos são os polos de
.
Passo 4
Como estamos integrando ao longo do eixo real de
a
, vamos fechar o caminho de integração no semiplano superior e considerar uma curva fechada que inclui o eixo real e um semicírculo no infinito. Os polos que ficam no semiplano superior são
e
.
Passo 5
Para aplicar o Teorema dos Resíduos, precisamos calcular os resíduos de
nesses polos. Vamos começar com
.
O resíduo em
é dado por:
Simplificando, temos:
Passo 6
Agora, calculamos o resíduo em
:
Simplificando,
Simplificando ainda mais:
Passo 7
Agora, somamos os resíduos dos polos no semiplano superior:
Passo 8
Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral fechada é
vezes a soma dos resíduos:
Passo 9
Como a integral no semicírculo no infinito tende a zero, a integral original no eixo real é igual à integral fechada. Portanto:
Resposta
A integral
é igual a
.