Utilize resíduos para calcular
(i) integral-infty^infty x^2(x^2+1)(x^2+5) d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a integral integral-infty^infty x^2(x^2+1)(x^2+5) dx usando o método de resíduos. Isso faz parte da matéria de Cálculo Complexo, especificamente utilizando a Teoria dos Resíduos para avaliar integrais que vão de menos infinito a mais infinito. Vamos precisar identificar os polos da função, calcular os resíduos e aplicar o teorema de resíduos para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a integral que estamos lidando. A função que vamos integrar é x^2(x^2+1)(x^2+5). Para usar a Teoria dos Resíduos, precisamos estender essa função para o plano complexo, ou seja, considerar z no lugar de x. Assim, nossa função se torna f(z) = z^2(z^2+1)(z^2+5).

Passo 3

Agora, vamos identificar os polos dessa função. Polos são os pontos onde a função fica “infinita”, ou seja, onde o denominador é zero. Resolvendo z^2 + 1 = 0 e z^2 + 5 = 0, encontramos os polos:
  • z = i e z = -i de z^2+1
  • z = iraiz5 e z = -iraiz5 de z^2+5
Esses pontos são os polos de f(z).

Passo 4

Como estamos integrando ao longo do eixo real de -infty a infty, vamos fechar o caminho de integração no semiplano superior e considerar uma curva fechada que inclui o eixo real e um semicírculo no infinito. Os polos que ficam no semiplano superior são z = i e z = iraiz5.

Passo 5

Para aplicar o Teorema dos Resíduos, precisamos calcular os resíduos de f(z) nesses polos. Vamos começar com z = i.
O resíduo em z = i é dado por:
Res(f, i) = limz to i (z - i) cdot z^2(z^2+1)(z^2+5)
Simplificando, temos:
Res(f, i) = i^2(2i)(i^2+5) = -1(2i)(-1+5) = -12i cdot 4 = -18i

Passo 6

Agora, calculamos o resíduo em z = iraiz5:
Res(f, iraiz5) = limz to iraiz5 (z - iraiz5) cdot z^2(z^2+1)(z^2+5)
Simplificando,
Res(f, iraiz5) = (iraiz5)^2(2iraiz5)(iraiz5)^2 +1) = -5(2iraiz5)(-5 +1) = -52iraiz5 cdot (-4) = -5-8iraiz5 = 58iraiz5
Simplificando ainda mais:
58iraiz5 = raiz58i

Passo 7

Agora, somamos os resíduos dos polos no semiplano superior:
Res(f, i) + Res(f, iraiz5) = -18i + raiz58i = -1 + raiz58i

Passo 8

Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral fechada é 2pi i vezes a soma dos resíduos:
oint f(z) dz = 2pi i ( -1 + raiz58i ) = 2pi i cdot -1 + raiz58i = 2pi cdot -1 + raiz58 = pi (-1 + raiz5)4

Passo 9

Como a integral no semicírculo no infinito tende a zero, a integral original no eixo real é igual à integral fechada. Portanto:
integral-infty^infty x^2(x^2+1)(x^2+5) dx = pi (raiz5 - 1)4

Resposta

A integral integral-infty^infty x^2(x^2+1)(x^2+5) dx é igual a pi (raiz5 - 1)4.

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