Utilize resíduos para calcular a seguinte integral real:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral real
usando resíduos. O conteúdo é Análise Complexa, mais precisamente o Teorema dos Resíduos e o Lema de Jordan. Vamos transformar essa integral numa integral sobre toda a reta real de uma função complexa que comporte
e depois usar contorno no semicírculo superior.
Passo 2
Observe que, para
,
Então definimos
cuja parte imaginária é
Como
é função par, isso dá
Logo
Passo 3
Considere o contorno que vai de
a
sobre o eixo real e fecha-se pelo semicírculo
de raio
no semiplano
. A função
é holomorfa nesse domínio, exceto pelos polos simples em
e
. No semiplano superior só está
. Pelo Lema de Jordan, o integral em
tende a zero quando
, pois
decai exponencialmente.
Passo 4
Pelo Teorema dos Resíduos,
Para calcular a resíduo em
:
Logo
Passo 5
Voltando à nossa integral real, temos