Utilize resíduos para calcular a seguinte integral real:
integral0^infty x sen xx^2+1 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral real
integral0^inftyxsen xx^2+1,dx
usando resíduos. O conteúdo é Análise Complexa, mais precisamente o Teorema dos Resíduos e o Lema de Jordan. Vamos transformar essa integral numa integral sobre toda a reta real de uma função complexa que comporte e^iz e depois usar contorno no semicírculo superior.

Passo 2

Observe que, para xinR,
x e^ix = xcos x + i,xsen x
Então definimos
I = integral-infty^infty z,e^izz^2+1,dz,
cuja parte imaginária é
Im I = integral-infty^inftyxsen xx^2+1,dx
Como xsen x é função par, isso dá
Im I = 2integral0^inftyxsen xx^2+1,dx
Logo
integral0^inftyxsen xx^2+1,dx = 12Im I

Passo 3

Considere o contorno que vai de -R a R sobre o eixo real e fecha-se pelo semicírculo CR de raio R no semiplano Im z>=0. A função
f(z)=z,e^izz^2+1
é holomorfa nesse domínio, exceto pelos polos simples em z=i e z=-i. No semiplano superior só está z=i. Pelo Lema de Jordan, o integral em CR tende a zero quando Rtoinfty, pois e^iz=e^i(x+iy)=e^ixe^-y decai exponencialmente.

Passo 4

Pelo Teorema dos Resíduos,
Para calcular a resíduo em :
Logo

Passo 5

Voltando à nossa integral real, temos
integral0^inftyxsen xx^2+1,dx = 12Im I = 12Iml(pi i,e^-1r) = 12,pi,e^-1

Resposta

integral0^inftyxsen xx^2+1,dx = pi2e

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